高等数学笔记：泰勒公式分析——浅谈泰勒公式记忆背后的逻辑链条

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于 2022-05-04 18:03:24 首次发布

本文详细解析了泰勒公式的核心特点，包括正项叠加与正负交错的规律，阶乘的来源与消去条件，以及部分展开中函数间的共轭关系。通过实例展示了如何利用泰勒公式理解和记忆常见的数学函数，如指数、三角函数和倒数等。

$f(x)=e^{x}$ 【含阶乘】【正项叠加】
$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o(x^n)$
$f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x$ 【含阶乘】【正负交错】
$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2 k-1}}{(2 k-1) !}+o(x^{2k-1})$
$f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x$ 【含阶乘】【正负交错】
$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2k-2}}{(2 k-2) !}+o(x^{2k-2})$
$f(x)=(1+x)αf(x)=(1+x)^{\alpha}$ 【含阶乘】【正项叠加】
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right)$
$f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln (1+x)$ 【正负交错】
$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o(x^n)$
$f (x) = 1 / (1 + x)$ 【正负交错】
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o(x^n)$
$f (x) = 1 / (1 - x)$ 【正项叠加】
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n}+o(x^n)$