本文详细解析了泰勒公式的核心特点，包括正项叠加与正负交错的规律，阶乘的来源与消去条件，以及部分展开中函数间的共轭关系。通过实例展示了如何利用泰勒公式理解和记忆常见的数学函数，如指数、三角函数和倒数等。
泰勒公式分析——浅谈泰勒公式记忆背后的逻辑链条
一、泰勒公式汇总
完全展开
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f(x)=exf(x)=e^{x}f(x)=ex 【含阶乘】【正项叠加】
ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+o(xn) e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o(x^n) ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+o(xn) -
f(x)=sinxf(x)=\sin xf(x)=sinx 【含阶乘】【正负交错】
sinx=x−x33!+x55!−⋯+(−1)k−1x2k−1(2k−1)!+o(x2k−1) \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2 k-1}}{(2 k-1) !}+o(x^{2k-1}) sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)k−1(2k−1)!x2k−1+o(x2k−1) -
f(x)=cosxf(x)=\cos xf(x)=cosx 【含阶乘】【正负交错】
cosx=1−x22!+x44!−⋯+(−1)k−1x2k−2(2k−2)!+o(x2k−2) \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2k-2}}{(2 k-2) !}+o(x^{2k-2}) cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)k−1(2k−2)!x2k−2+o(x2k−2) -
f(x)=(1+x)αf(x)=(1+x)^{\alpha}f(x)=(1+x)α 【含阶乘】【正项叠加】
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn) (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right) (1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn+o(xn) -
f(x)=ln(1+x)f(x)=\ln (1+x)f(x)=ln(1+x) 【正负交错】
ln(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn) \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o(x^n) ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯+(−1)n−1nxn+o(xn) -
f(x)=1/(1+x)f(x)=1/(1+x)f(x)=1/(1+x) 【正负交错】
11+x=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+o(xn) \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o(x^n) 1+x1=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+o(xn) -
f(x)=1/(1−x)f(x)=1/(1-x)f(x)=1/(1−x) 【正项叠加】
11−x=1+x+x2+x3+⋯+xn+o(xn) \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n}+o(x^n) 1−x1=1+x+x2+
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