高等数学笔记：泰勒公式分析——浅谈泰勒公式记忆背后的逻辑链条

泰勒公式分析——浅谈泰勒公式记忆背后的逻辑链条

一、泰勒公式汇总

完全展开

• $f(x)=e^x$ 【含阶乘】【正项叠加】
  $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

• $f(x)=\sin x$ 【含阶乘】【正负交错】
  $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k-1})$$

• $f(x)=\cos x$ 【含阶乘】【正负交错】
  $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-2}}{(2k-2)!}+o(x^{2k-2})$$

• $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$ 【含阶乘】【正项叠加】
  $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right)$$

• $f(x)=\ln (1+x)$ 【正负交错】
  $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$

• $f(x)=1/(1+x)$ 【正负交错】
  $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$$

• $f(x)=1/(1-x)$ 【正项叠加】
  $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)$$

• $f(x)=\arctan x$ 【正负交错】
  $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots +(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+o(x^{2k-1})$$

• $f(x)=1/(1+x^2)$ 【正负交错】
  $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4+\cdots +(-1{)}^{k-1}{x}^{2k}+o(x^{2k})$$

• $f(x)=1/(ax+b)$ 【正负交错】
  $$\frac{1}{ax+b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot x+\frac{1}{b}\cdot (\frac{a}{b}{)}^2\cdot x^2-\cdots +(-1{)}^n\frac{1}{b}\cdot (\frac{a}{b}{)}^n\cdot x^n+o(x^n)$$

部分展开

• $f(x)=\sin x$
  $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

• $f(x)=\arcsin x$
  $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

• $f(x)=\tan x$
  $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

• $f(x)=\arctan x$
  $$\tan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

二、基本特点分析

最直观的基本特点：【有没有阶乘】和【正项叠加或正负交错】

01 正项叠加或正负交错

曲线妥协法：根据曲线形势判断符号

展开每一项都为正的三个函数，$f(x)=e^x,f(x)=(1+x{)}^{\alpha },f(x)=1/(1-x)$

分析它们的图像可以知道，它们都存在某一个区间，使得函数拥有“飞快增长”或“爆炸增长”的趋势。

展开每项正负交错的七个函数，$\sin x,\cos x,\ln (1+x),1/(1+x),\arctan x,1/(1+x^2),1/(ax+b)$

由于 $1/(1+x),1/(1+x^2),1/(ax+b)$ 函数图像完全相似，我们只讨论五个函数图像的情况。

首先，三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的图像是在 $y=0$ 之间来回震荡，有增有减，有正有负。那么显然，多项式展开需要正项使其递增，负向使其递减，达到“波动”的效果。

其次，$\ln (1+x)$ 尽管有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (1+x)=+\infty$，但是 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (1+x){)}^{\prime }=0$，即当 $x$ 越大，函数增长趋于平缓。并不满足所谓的“飞快增长”或“爆炸增长”。

然后，$1/(1+x)$ 在 $x$ 趋于 $+\infty$ 时，函数值趋于 $0$，必然也是平缓的曲线。

最后，$\arctan x$ 在无穷处收敛于 $\pi /2$，必然也是平缓的曲线。

解决了“带不带负号”的问题。

逐项展开系数与次数的特点

对于所有的分母，其数字一定和次数相等。

由正负交错的特点到次数项缺位

从 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的展开式我们可以看出，尽管分母的数字一定和次数相等，但第几项和次数并不一致。

• 引理

  • 对于奇函数展开

    ​ 函数 = 奇 + 偶 + 奇 + 偶 + $\cdots$，所有的偶数项一定为 $0$，

    ​ 即 函数 = 奇 + $0$ + 奇 + $0$ + $\cdots$

  • 对于偶函数展开

    ​ 函数 = 奇 + 偶 + 奇 + 偶 + $\cdots$，所有的奇数项一定为 $0$

    ​ 即 函数 = $0$ + 偶 + $0$ + 偶 + $\cdots$

从引理出发， $\sin x$ 和 $\cos x$ 的展开是偶数项或奇数项为 $0$ 导致奇数项或偶数项前挪。

那么，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的展开可以写为：
$$\begin{array}{rl}& \sin x=x+0-\frac{x^3}{3!}+0+\frac{x^5}{5!}-\cdots \\ & \cos x=0+1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!}-\cdots \end{array}$$

02 是否含阶乘

(1) 函数之间的关系

由欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，我们得到我们想要的形式：$e^{某x}=某\cos x+某\sin x$，

而且显然有 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，由此，我们建立了 $e^x,\sin x,\cos x$ 这三个函数的关系链。

自然而然地， $e^x,\sin x,\cos x$ 这三个函数的展开都含有阶乘。

从另一角度，如果记 $\sin x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_{sn}$，$\cos x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_{cn}$，根据观察，

可得到关系式：$e^x=\sum _{n=1}^{\infty }(u_{sn}+u_{cn})$ .

即 $e^x$ 的展开是由 $\sin x$ 和 $\cos x$ 展开每一项的正项部分交错相加得到的。

另外，根据函数的关系，我们也可以知道 $\sin x$ 和 $\cos x$ 一定是正负交错的，因为正向叠加会导致 $e^x=\cos x+\sin x$ 成立，这是显然不对的。

(2) 阶乘的由来

对于一般函数的泰勒展开：
$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x-x_0\right)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+o\left({\left(x-x_0\right)}^n\right)$$
用麦克劳林展开可简写为：$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n$，说明阶乘是伴随泰勒推导与生俱来的。

所以，含有阶乘的意思就是泰勒展开过程中，阶乘没有被我们消掉；不含阶乘就说明阶乘在求 $n$ 阶导的过程中消掉了。

那么，对于某些函数来说，为什么阶乘能被消掉呢？

在说明这个问题之前，我们定义“类幂函数”：形式为多项式的幂次方 $(a{x}^m+b{x}^n+\cdots {)}^{\alpha }$ ）的函数。

然后，如果函数是“类幂函数”或者它的导数是“类幂函数”且这个幂为负数。

那么这个函数在求 $n$ 阶导数时，求导拿出来的系数一定是从 $1$ 左右的低次开始，逐渐到 $n$ 次左右的高次，

而这个过程是和阶乘的方向一致的，所以这类函数求到 $n$ 阶导数时，$n!$ 一定会被消除或者消到只剩某几项。

比如 $\ln (1+x),1/(1+x),1/(1-x),\arctan x,1/(1+x^2)$ .

按照这个思路，如果函数是“类幂函数”或者它的导数是“类幂函数”且这个幂为正数。

那么这个函数在求 $n$ 阶导数时，求导拿出来的系数一定是从次它的幂开始，逐渐降幂到 $0$ 的过程，

而个过程是和阶乘的方向相反的，所以这类函数求到 $n$ 阶导数时，$n!$ 依然会被保留。

比如：【阶乘四天王】$e^x,\sin x,\cos x,(1+x{)}^{\alpha }$ .

三、对于部分展开的讨论

函数之间的关系

对于互为反函数的函数对，如果展开式首项为 $x$，那么这一对函数的泰勒展开前两项一定共轭，即
$$\begin{array}{rl}& f(x)=x+a{x}^b+o(x^b)\\ & f^{-1}(x)=x-a{x}^b+o(x^b)\end{array}$$
由此，得出 $\sin x$ 和 $\arcsin x$， $\tan x$ 和 $\arctan x$ 有同样的关系（ $\cos x$ 和 $\arccos x$ 并没有，展开首项为 $1$）。

• $f(x)=\sin x$
  $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

• $f(x)=\arcsin x$
  $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

• $f(x)=\tan x$
  $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

• $f(x)=\arctan x$
  $$\tan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

除此之外，对于 $\sin x$ 和 $\tan x$ 有以下关系式：
$$\sin x<x<\tan x;x\to 0,\sin x\sim x\sim \tan x$$

且由 $y=x$ 直线可以将 $y=\sin x$ 与 $y=\tan x$ 分隔开。

说明存在形式： $\sin x=x-x^{某}$，$\tan x=x+x^{某}$，那么某次方是什么？由于两函数均为奇函数，那么某次方可确定为立方。

除此之外，对于 $\tan x$ 的前两项是什么，我们也有如下证明和理解辅助记忆：
$$\begin{array}{rl}& \tan x=x+A{x}^3,A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}\\ & A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x\cdot \cos x}{x^3\cdot \cos x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\frac{x^3}{6}-x(1-\frac{x^2}{2})}{x^3\cdot 1}\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$

四、根据函数特性对展开的一些讨论

01 等比级数观点

对于 $1/(1+x)$ 和 $1/(1-x)$ 我们可以发现，它是等比级数和函数的形式。

所以可以按照公式，进行逆展开。
$$等比级数和函数=\frac{首项(1-公{比}^{项数})}{1-公比}$$

02 网红展开与 $\arcsin x$ 的关系

对于这个函数 $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$，它的泰勒展开前两项，与 $\arcsin x$ 展开前两项也存在共轭关系。

而两函数的导数，存在类似共轭的关系：
$$\begin{array}{rl}& [\ln (x+\sqrt{1+x^2}){]}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\\ & (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}\end{array}$$
所以它们泰勒展开的共轭状况也由此而来。
$$\begin{array}{rl}& \ln (x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\\ & \arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\end{array}$$