线性代数学习笔记之特征值与特征向量

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1. 特征值与特征向量的概念

（1）特征值与特征向量定义：

图形表示：

文字表示：设矩阵A为 $n$ 阶方阵， $\lambda$ 为一个数， $\alpha$ 为 $n$ 维非零列向量，若存在 $A\alpha =\lambda \alpha$ ，

则称 $\lambda$ 为矩阵A的特征值， $\alpha$ 为矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

备注：

①：矩阵A必须是方阵。 $\Leftarrow$ 从矩阵乘法、矩阵相等和 $A\alpha =\lambda \alpha$ 的角度来衡量。

②：特征值 $\lambda$ 是一个数，可以为0。 $\Leftarrow$ 从 $\lambda \alpha=0$ 的角度来衡量。

③：特征向量 $\alpha$ 必须是非零列向量。 $\Leftarrow$ 从 $n$ 阶方阵、矩阵乘法和规定(非零)的角度来衡量。

（2）特征值与特征向量关系：

1）若 $\alpha$ 是矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $k\alpha$ ( $k$ ≠ 0)也是矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

即：若能找到矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量，则就能找到矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的无穷多个特征向量。

2）对于给定的矩阵A，若 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ 都是矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则非零线性组合 $k_{1}\alpha _{1}$ + $k_{2}\alpha _{2}$ ≠ 0

也是矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

3）对于给定的矩阵A，特征向量 $\alpha$ 只能是属于其中一个特征值的。

即：对于给定的矩阵A，特征向量 $\alpha$ 不能属于不同特征值的，即具备正规父子关系。

2. 特征值与特征向量的求法

求解分析：

①：想要求解矩阵A的特征值与特征向量，那就从定义入手。 $\Leftarrow$ 目前的学习深度只有定义与特征值和特征向量相关。

②：由 $A\alpha =\lambda \alpha$ 可得： $\lambda \alpha-A\alpha =0$ ，即( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $\alpha$ = $0$ 。其中，特征值 $\lambda$ 与特征向量 $\alpha$ 就是我们要求解的目标。

③：想要求解特征向量 $\alpha$ ，那么就把 $\alpha$ 看成一个未知量 $x$ ，则( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $\alpha$ = $0$ 就转化为( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 。即想要求解特征向量 $\alpha$ ，

就转化成求齐次线性方程组( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 的解的问题了。其中，因特征向量 $\alpha$ 是列向量，所以未知量 $x$ 也是列向量。

④：因为特征向量 $\alpha$ 是非零列向量，所以求( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 的解，就是求齐次线性方程组( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 的非零解(基础解系的解向量)。

其中，若已知特征值 $\lambda$ 的值，即可解得 $x$ 。 $\Rightarrow$ 特征向量。

⑤：因为齐次线性方程组( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 是有非零解的，所以| $\lambda$ E - A| = 0。 $\Rightarrow$ 特征值。

备注：

①：若矩阵A的特征值有重根或多重根，则需要全部表示出来，即 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=...$ 。

②：若齐次线性方程组( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 的基础解系只含有一个解向量，则通解里的常数 $c$ 要注明： $c$ 为非零常数。

③：若齐次线性方程组( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ 的基础解系含有多个解向量，则通解里的常数 $c_{1}$ , $c_{2}$ ，... $c_{s}$ 要注明： $c_{1}$ , $c_{2}$ ，... $c_{s}$ 不全为零。

④：矩阵A的不同特征值对应的特征向量的通解不能够用同一个常数。

小贴士：

①：特征方程与特征根：已知矩阵A，| $\lambda$ E - A| = 0称为矩阵A的特征方程； $\lambda$ 称为特征方程的特征根。

②：特征多项式：特征方程| $\lambda$ E - A| = 0的完全展开式。

3. 特征值与特征向量的性质

（1） $n$ 阶矩阵A在复数域内必有 $n$ 个特征值。

（2） $n$ 阶矩阵A与其转置矩阵 $A^{T}$ 有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，但特征向量一般不相同。

证明思路： $\lambda$ $E$ - $A^{T}$ = $(\lambda E)^{T}-A^{T}$ = $(\lambda E-A)^{T}$ 。

（3）设 $n$ 阶矩阵A的 $n$ 个特征值为 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，... $\lambda _{n}$ ，则有以下关系式：

①： $\lambda _{1}$ + $\lambda _{2}$ + ... + $\lambda _{n}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ + ... + $a_{nn}$ 。

②： $\lambda _{1}$ * $\lambda _{2}$ *... * $\lambda _{n}$ = |A|。

备注：矩阵A的主对角线元素的和，称为矩阵A的迹，记作tr(A)。

（4） $n$ 阶矩阵A可逆 $\Leftrightarrow$ 矩阵A的所有特征值都不等于0。

$n$ 阶矩阵A不可逆 $\Leftrightarrow$ 矩阵A的特征值至少有一个是0。

（5） $n$ 阶矩阵A的不同的特征值，对应的特征向量之间是线性无关的。

证明：采用数学归纳法证明。

  1）当 $n$ = 1时，其特征值为 $\lambda _{1}$ ，对应的特征向量为 $\alpha_{1}$ 。因为 $\alpha_{1}$ 是非零列向量，所以 $\alpha_{1}$ 是线性无关的。

   2）当 $n$ = $k$ 时，其特征值为 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，... $\lambda _{k}$ ，对应的特征向量为 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ 。假设 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ 是线性无关的。

  3）当 $n$ = $k$ + 1时，其特征值为 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，... $\lambda _{k}$ ， $\lambda _{k+1}$ ，对应的特征向量为 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ ， $\alpha_{k+1}$ 。

现需要证明 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ ， $\alpha_{k+1}$ 也是线性无关。

①：假设 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ ， $\alpha_{k+1}$ 是线性无关的，则有： $m_{1}\alpha _{1}+m_{2}\alpha _{2}+...+m_{k}\alpha _{k}+m_{k+1}\alpha _{k+1}=0$ 。

②：式①两端同左乘矩阵A可得： $m_{1}A\alpha _{1}+m_{2}A\alpha _{2}+...+m_{k}A\alpha _{k}+m_{k+1}A\alpha _{k+1}=0$ 。

③：根据 $A\alpha =\lambda \alpha$ ，对式②等价可得： $m_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+m_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+...+m_{k}\lambda _{k}\alpha _{k}+m_{k+1}\lambda _{k+1}\alpha _{k+1}=0$ 。

④：式①两端同乘 $\lambda_{k+1}$ 可得： $m_{1}\lambda _{k+1}\alpha _{1}+m_{2}\lambda _{k+1}\alpha _{2}+...+m_{k}\lambda _{k+1}\alpha _{k}+m_{k+1}\lambda _{k+1}\alpha _{k+1}=0$ 。

⑤：式③减去式④可得： $m_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{k+1})\alpha _{1}+m_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{k+1})\alpha _{2}+...+m_{k}(\lambda _{k}-\lambda _{k+1})\alpha _{k}=0$ 。

因为 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，... $\lambda _{k}$ ， $\lambda _{k+1}$ 是不同的值，则有： $\lambda _{i}-\lambda _{k+1}$ ≠ 0。

又因为 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ 是线性无关的，则有： $m_{1}=m_{2}= ...=m_{k}=$ 0。

⑥：将⑤的结果代入式①可得： $m_{k+1}\alpha _{k+1}=0$ 。

   因为 $\alpha_{k+1}$ 是非零列向量，则有： $m_{k+1}=$ 0。

⑦：由⑤和⑥的结果可得： $m_{1}=m_{2}= ...=m_{k}=m_{k+1}=$ 0。

⑧：所以 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ ， $\alpha_{k+1}$ 是线性无关的。 $\Rightarrow$ $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，... $\alpha_{k}$ 是线性无关的。

（6） $n$ 阶矩阵A的不同的特征值，分别取同一特征值对应的线性无关的特征向量，将特征向量组合起来形成的向量组依然线性无关。

（7）若 $\lambda$ 是矩阵A的单特征值(根)，则矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的线性无关的特征向量(基础解系的解向量)有且只有一个。

若 $\lambda$ 是矩阵A的 $k$ 重特征值(根)，则矩阵A的对应于特征值 $\lambda$ 的线性无关的特征向量(基础解系的解向量)的个数不超过 $k$ 个。

（8）若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，矩阵 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\alpha$ ，则有：

矩阵： $A$ $A^{m}$ $kA$ $A+E$ $f(A)$ $A^{2}+2A +3E$ $A^{-1}$ $A^{*}$

特征值： $\lambda$ $\lambda^{m}$ $k\lambda$ $\lambda+1$ $f(\lambda )$ $\lambda ^{2}+2\lambda +3$ $\frac{1}{\lambda }$ $\frac{|A|}{\lambda }$

特征向量： $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

备注：对于 $A^{-1}$ 及 $A^{*}$ ，可知矩阵A此时是可逆的，则|A| ≠ 0，又|A| = $\lambda _{1}$ * $\lambda _{2}$ *... * $\lambda _{n}$ ，故此时的 $\lambda$ ≠ 0。

（9）设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，矩阵 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\alpha$ ，f( $x$ )为多项式，若f( $A$ ) = $0$ ，则有f( $\lambda$ ) = 0。

备注：对于上述性质，由f( $\lambda$ ) = 0求得的 $\lambda$ 可能有几个，但针对矩阵A，其特征值只能在其中取，但不一定全取，根据实际问题分析。

（10）若 $n$ 阶矩阵A的秩 $r$ (A) = 1，则矩阵A的特征值 $\lambda _{1}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ + ... + $a_{nn}$ = $tr$ (A)， $\lambda _{2}$ = $\lambda _{3}$ = ... = $\lambda _{n}$ = 0。

证明：

①：因为 $tr$ (A) = $\lambda _{1}$ + $\lambda _{2}$ + ... + $\lambda _{n}$ ，若要证明矩阵A的特征值 $\lambda _{1}$ = $tr$ (A)， $\lambda _{2}$ = $\lambda _{3}$ = ... = $\lambda _{n}$ = 0，

只需要证明 $\lambda _{2}$ = $\lambda _{3}$ = ... = $\lambda _{n}$ = 0，自然就有 $\lambda _{1}$ = $tr$ (A)。

②：若要证明 $\lambda _{2}$ = $\lambda _{3}$ = ... = $\lambda _{n}$ = 0，则需要证明零为矩阵A特征值且重数至少为 $n$ - 1。

③：因为 $n$ 阶矩阵A的秩 $r$ (A) = 1 < $n$ ，所以矩阵A是不可逆的，则有|A| = 0。

又知|A| = $\lambda _{1}$ * $\lambda _{2}$ * ... * $\lambda _{n}$ ，所以矩阵A的特征值 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ， ... $\lambda _{n}$ 至少有一个为零。

$\Rightarrow$ 零是矩阵A的特征值之一。

④：因为零是矩阵A的特征值，则有(0E - A) $x$ = $0$ ，即：A $x$ = $0$ 。

又知矩阵A的秩 $r$ (A) = 1，所以齐次线性方程组A $x$ = $0$ 的基础解系中解向量的个数为 $n$ - 1且线性无关。

由此可得：矩阵A的特征值零对应的线性无关的特征向量个数为 $n$ - 1个。

⑤：因为矩阵A的特征值 $\lambda$ 的重数 ≥ 特征值 $\lambda$ 对应的线性无关的特征向量个数，

所以矩阵A的特征值零的重数至少为 $n$ - 1。 $\Rightarrow$ $\lambda _{2}$ = $\lambda _{3}$ = ... = $\lambda _{n}$ = 0。

⑥：若 $tr$ (A) = 0，则 $\lambda _{1}$ = 0；若 $tr$ (A) ≠ 0，则 $\lambda _{1}$ ≠ 0。

小贴士：若 $\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维非零列向量，则有 $r(\alpha \beta ^{T})$ = $r( \beta\alpha ^{T})$ = 1。

4. 矩阵相似的概念与性质

（1）定义：设矩阵A和矩阵B都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 $P^{-1}$ $A$ $P$ = $B$ ，则称矩阵A和矩阵B相似，记作A ~ B。

（2）性质：

　1）若A ~ B，则A ≅ B。

证明：若A ~ B，则存在可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP = B$ 。令 $P = P_{1}P_{2}...P_{s}$ ，其中 $P_{i}$ 为初等矩阵，

则有 $P^{-1}AP = (P_{1}P_{2}...P_{s})^{-1}AP_{1}P_{2}...P_{s}=P_{s}^{-1}...P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}...P_{s}=B$ ，所以A ≅ B。

2）反身性：A ~ A。

3）对称性：若A ~ B，则B ~ A。

4）传递性：若A ~ B，B ~ C，则A ~ C。

5）若A ~ B，则 $r$ (A) = $r$ (B)。

6）若A ~ B，则矩阵A与矩阵Ｂ的特征多项式相同，特征值相等。

证明思路：| $\lambda$ E - B| = | $\lambda P^{-1}EP-P^{-1}AP$ | = | $P^{-1}(\lambda E-A)P$ |

7）若A ~ B，则|A| = |B|，tr(A) = tr(B)。

8）若A ~ B，则矩阵A和矩阵B要么同时可逆，要么同时不可逆。

9）若A ~ B，当矩阵A和矩阵B均可逆时，有： $A^{-1}$ ~ $B^{-1}$ ， $A^{*}$ ~ $B^{*}$ 。

10）若A ~ B，则 $A^{m}$ ~ $B^{m}$ (其中 $m$ 为正整数)。

11）若A ~ B，则 $A^{T}$ ~ $B^{T}$ 。

12）若A ~ B，则 $f(A)\sim f(B)$ 。

备注：若 $r$ (A) ≠ $r$ (B)，或tr(A) ≠ tr(B)，或|A| ≠ |B|，或 $\lambda _{A}$ ≠ $\lambda _{B}$ ，则矩阵A和矩阵B一定不相似。

5. 矩阵的对角化

（1）定义：设矩阵A和对角矩阵Λ都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 $P^{-1}$ $A$ $P$ = Λ，则称矩阵A和对角矩阵Λ是相似的，

或称矩阵A可对角化。

（2）矩阵A可对角化条件：

判别法1： $n$ 阶矩阵A可对角化 $\Leftrightarrow$ $n$ 阶矩阵A有 $n$ 个线性无关的特征向量。

判别法2：若 $n$ 阶矩阵A有 $n$ 个不同的特征值，则 $n$ 阶矩阵A可对角化。

小贴士：

因为：单特征值有且仅有一个线性无关的特征向量，重特征值的线性无关的特征向量的个数不超过它的重数。

所以：矩阵A是否可以对角化，取决于重特征值对应的线性无关的特征向量的个数。

备注：

①： $n$ 阶矩阵A可对角化 $\Leftrightarrow$ $n$ 阶矩阵A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。

②： $n$ 阶矩阵A可对角化 $\Leftrightarrow$ 对于 $n$ 阶矩阵A的任一 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，需要齐次线性方程组( $\lambda$ E - A) $x$ = $0$ 的基础解系含有 $s$ 个解向量。

③： $n$ 阶矩阵A可对角化 $\Leftrightarrow$ 对于 $n$ 阶矩阵A的任一 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，需要 $n$ - $r$ ( $\lambda$ E - A) = $s$ 。

④： $n$ 阶矩阵A可对角化 $\Leftrightarrow$ 对于 $n$ 阶矩阵A的任一 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，需要 $r$ ( $\lambda$ E - A) = $n$ - $s$ 。

（3）若矩阵A可对角化，则可逆矩阵P与对角矩阵Λ求解过程：

第一步：求解特征方程| $\lambda$ E - A| = 0，获取特征值 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ 。

第二步：根据特征值求解对应的齐次线性方程组( $\lambda$ $E$ - $A$ ) $x$ = $0$ ，获取特征向量 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 。

第三步：根据特征值和相对应的特征向量有序排列，可得：

可逆矩阵P = $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ 对角矩阵 Λ = $Diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ .

备注： $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 与 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ 组合为可逆矩阵P和对角矩阵Λ时，要保证特征值与对应的特征向量对齐。

6. 向量的内积与正交

6.1 向量的内积

（1）定义：设 $n$ 维列向量 $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})^{T}$ ， $\beta =(\beta _{1},\beta _{2},...\beta _{n})^{T}$ ,则向量 $\alpha$ ， $\beta$ 的内积为：

$(\alpha ,\beta )= \alpha ^{T}\beta=\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+...+\alpha _{n}\beta _{n}$ .

设 $n$ 维行向量 $\alpha =\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}$ ， $\beta =\beta _{1},\beta _{2},...\beta _{n}$ ,则向量 $\alpha$ ， $\beta$ 的内积为：

$(\alpha ,\beta )=\alpha\beta^{T} =\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+...+\alpha _{n}\beta _{n}$ .

备注：向量的内积是一个数，是两个向量对应分量的乘积之和。

（2）性质：

1）设 $n$ 维向量 $\alpha$ ，则 $(\alpha,\alpha)\geq 0$ ，若 $(\alpha,\alpha)= 0$ ，则向量 $\alpha$ 的各个分量均为0，即 $\alpha =0$ 。

2） $(\alpha,\beta) = (\beta,\alpha)$

3） $(k\alpha,\beta) = k(\alpha,\beta)$

4） $(\alpha_{1}+\alpha_{2},\beta) = (\alpha_{1},\beta)+(\alpha_{2},\beta)$ $(\alpha,\beta_{1}+\beta_{2}) = (\alpha,\beta_{1})+(\alpha,\beta_{2})$

$(\alpha_{1}+\alpha_{2},\beta_{1}+\beta_{2}) = (\alpha_{1},\beta_{1})+(\alpha_{1},\beta_{2})+(\alpha_{2},\beta_{1})+(\alpha_{2},\beta_{2})$

6.2 向量的单位化

（1）向量的模： $\left \| \alpha \right \|=\sqrt{(\alpha ,\alpha )}$ 。

备注：

①：向量的模又称向量的长度、向量的范数。

②： $(\alpha ,\alpha ) = \left \| \alpha \right \|^{2}$ 。

③：单位向量： $\left \| \alpha \right \|=1$ 。

（2）向量的单位化：就是将非单位向量转化为单位向量。

即： $\beta =\frac{\alpha }{\left \| \alpha \right \|}$ （其中 $\alpha$ 为非零向量， $\beta$ 为单位向量）

6.3 向量的正交

（1）定义：

1）正交：若 $\left ( \alpha ,\beta \right )=0$ ，则称向量 $\alpha$ 与向量 $\beta$ 正交(垂直)，记作 $\alpha$ $\perp$ $\beta$ 。

备注：①：零向量与任何向量都正交。 $\Leftarrow$ $\left ( \alpha ,0 \right )=0$

②：只有零向量与本身是正交的。 $\Leftarrow$ $\left ( \alpha ,\alpha \right )\geq 0$

2）正交向量组：①：没有零向量的向量组；②：向量之间两两正交。

备注：若向量组中只有一个非零向量，此向量组也是正交向量组。

3）标准(单位)正交向量组：①：正交向量组；②：每个向量都是单位向量。

备注：设向量组 $\alpha _{1}$ ， $\alpha _{2}$ ，... $\alpha _{s}$ 为标准(单位)正交向量组，则：

$\left ( \alpha_{i} ,\alpha _{j} \right )= \left\{\begin{matrix} 0,i\neq j\\ 1,i=j \end{matrix}\right.$ 。

（2）性质：正交向量组一定是线性无关的，但线性无关的向量组不一定是正交向量组。

小贴士：施密特正交化：

解决的问题: 已知：向量组 $\alpha _{1}$ ， $\alpha _{2}$ ，... $\alpha _{n}$ 是线性无关的。

求解：与向量组 $\alpha _{1}$ ， $\alpha _{2}$ ，... $\alpha _{n}$ 等价的正交向量组 $\gamma _{1}$ ， $\gamma _{2}$ ，... $\gamma _{n}$ 。

求解过程：①：正交化 ②：单位化

   $\beta _{1} = \alpha _{1}$    $\gamma _{1} =\frac{ \beta _{1}}{\left \| \beta _{1} \right \|}$

   $\beta _{2} = \alpha _{2}-\frac{(\alpha _{2},\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1}$ $\gamma _{2} =\frac{ \beta _{2}}{\left \| \beta _{2} \right \|}$

   $\beta _{3} = \alpha _{3}-\frac{(\alpha _{3},\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1}-\frac{(\alpha _{3},\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})}\beta _{2}$    $\gamma _{3} =\frac{ \beta _{3}}{\left \| \beta _{3} \right \|}$

则： $\gamma _{1}$ ， $\gamma _{2}$ ， $\gamma _{3}$ 就是与向量组 $\alpha _{1}$ ， $\alpha _{2}$ ， $\alpha _{3}$ 等价的正交向量组。

7. 矩阵正交相似的概念与性质

1. 正交矩阵

（1）定义：若 $n$ 阶矩阵A，满足 $AA^{T}=E$ ，则称矩阵A为正交矩阵。

（2）性质：

1）若矩阵A为正交矩阵，则 $AA^{T}=A^{T}A=E$ 。

2）若矩阵A为正交矩阵，则矩阵A的行列式的值等于±1。

3）若矩阵A为正交矩阵，则矩阵A可逆，且 $A^{-1}=A^{T}$ 。

4）若 $\lambda$ 是正交矩阵A的特征值，则 $\frac{1}{\lambda }$ 也是矩阵A的特征值。

5）若矩阵A为正交矩阵，则 $A^{T}$ ， $A^{-1}$ ， $A^{*}$ 也是正交矩阵。

6）若矩阵A，B均为正交矩阵，则AB也是正交矩阵。

7）保内积性：若矩阵A为正交矩阵，则 $(A\alpha,A\beta)= (\alpha,\beta)$ 。

8）保长度性：若矩阵A为正交矩阵，则 $\left \| A\alpha \right \|=\left \| \alpha \right \|$ 。

9）矩阵A为正交矩阵 $\Leftrightarrow$ 矩阵A的列(行)向量组为单位正交向量组。

2. 矩阵的正交相似

（1）定义：设矩阵A和矩阵B都是 $n$ 阶矩阵，若存在正交矩阵Q，使得 $Q^{-1}$ $A$ $Q$ = $B$ ，则称矩阵A和矩阵B正交相似。

（2）性质：若矩阵A和矩阵B正交相似 $\Rightarrow$ 矩阵A和矩阵B相似。

8. 矩阵的正交对角化

（1）定义：设矩阵A和对角矩阵Λ都是 $n$ 阶矩阵，若存在正交矩阵Q，使得 $Q^{-1}$ $A$ $Q$ = Λ，则称矩阵A和对角矩阵Λ是相似的，

或称矩阵A可正交对角化。

（2）实对称矩阵：

1）定义：以主对角线为对称轴，各元素对应相等且均为实数的 $n$ 阶矩阵。

2）性质：

①： $a_{ij}=a_{ji}$ .

②： $A = A^{T}$ .

③：实对称矩阵的特征值均为实数，特征向量均为实向量。

④：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定是正交的。

证明：设实对称矩阵A的特征值为 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，对应的特征向量为 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ ，其中 $\lambda _{1}$ ≠ $\lambda _{2}$ 。

①：由特征值与特征向量的定义有： $A$ $\alpha_{1}$ = $\lambda _{1}$ $\alpha_{1}$ ， $A$ $\alpha_{2}$ = $\lambda _{2}$ $\alpha_{2}$ 。

②：从内积定义入手：

$(A\alpha _{1},\alpha _{2})=(\lambda _{1}\alpha _{1})^{T}\alpha _{2}=\lambda _{1}\alpha _{1}^{T}\alpha _{2}$

$(A\alpha _{1},\alpha _{2})=(A\alpha _{1})^{T}\alpha _{2}=\alpha _{1}^{T}A^{T}\alpha _{2}=\alpha _{1}^{T}A\alpha _{2}=\lambda_{2} \alpha _{1}^{T}\alpha _{2}$

③：由上述两式可得： $(\lambda _{1}-\lambda _{2})\alpha _{1}^{T}\alpha _{2}=0$

④：因 $\lambda _{1}$ ≠ $\lambda _{2}$ ，则： $\alpha _{1}^{T}\alpha _{2}=0$ ，即 $(\alpha _{1},\alpha _{2})=0$ ，所以 $\alpha_{1}$ ， $\alpha_{2}$ 正交。

（3）实对称矩阵A可正交对角化的条件：

因为 $n$ 阶实对称矩阵必有 $n$ 个线性无关的特征向量，所以实对称矩阵一定可以正交对角化。

备注：

①： $n$ 阶实对称矩阵A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。

②：对于 $n$ 阶实对称矩阵A的任一 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，齐次线性方程组( $\lambda$ E - A) $x$ = $0$ 的基础解系恰好含有 $s$ 个解向量。

③：对于 $n$ 阶实对称矩阵A的任一 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，恰好 $n$ - $r$ ( $\lambda$ E - A) = $s$ 。

④：对于 $n$ 阶实对称矩阵A的任一 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，恰好 $r$ ( $\lambda$ E - A) = $n$ - $s$ 。