【多项式】常系数齐次线性递推

TIP：这篇文章只是快速入门，并不包含更加详细的内容

Description

求以下递推式第n项：
$$f_i=\sum _{j=1}^m{c}_j{f}_{i-j}$$
其中$c_j$为常数，
形如这样的式子叫做：常系数齐次线性递推，

接下来我们将讨论，当m较小，n很大时，如何快速求出答案

前置技能

先介绍一些必要的东西：

若对于m阶矩阵$A$，有常数$\lambda$，非零列向量$\overrightarrow{v}$ ，满足：
$$\lambda \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}A$$
那么我们就称：$\lambda$为矩阵特征值，$\overrightarrow{v}$为矩阵特征列向量，
移项得：
$$(\lambda I-A)\overrightarrow{v}=0$$
也写作：
$$(\lambda I-A)=0$$
也就是说，$(\lambda I-A)$的行列式均为0，即$|\lambda I-A|=0$，

我们可以将$|\lambda I-A|$看做是关于$\lambda$的一个m次多项式，记作$f(\lambda )$，叫做A的特征多项式，
对于矩阵$A$的任意特征值${\lambda }_0$，都有$f({\lambda }_0)=0$，

顺便也定义一下矩阵多项式（即把普通多项式$f(x)$的$x$换成一个矩阵），
这个和向量差不多，加法就直接按位相加，常乘法就直接乘，乘法就矩阵乘法，

哈密顿—凯莱定理：对于矩阵A的特征多项式$f(x)$，满足$f(A)=0$

Solution

先把原始转成矩阵乘法的形式，
对于转移矩阵C，我们考虑求它的特征多项式：
C大概是长这样的
$$\lambda I-C=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda -c_1& -c_2& \cdots & -c_{m-1}& -c_m\\ -1& \lambda & \cdots & 0& 0\\ 0& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& \lambda \end{array}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$
把第一行提出来，可以发现剩下的这个东西的特征多项式（行列式）比较好求，即：
$$f(\lambda )={\lambda }^m-\sum _{i=1}^m{c}_i{\lambda }^{m-i}$$
（本来要乘$(-1{)}^{i-1}$的但被逆序对贡献的-1消掉了）

现在我们的目标是求$C^{n-1}$，求出这个东西以后就直接乘上初始矩阵即可，

我们把$C^{n-1}$看做是一个关于矩阵C的(n-1)次项多项式（只是只有一项罢了），
显然的，$C^{n-1}$可以写成$P(C)f(C)+R(C)$的形式，其中$R(C)=C^{n-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(C)$

又已知$f(C)=0$，所以只用求$R(C)$即可，
我们可以把矩阵C先看成普通的实数x，即先求出$R(x)=x^{n-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(x)$中的$R(x)$的系数，最后再考虑矩阵C，
关于$R(x)$怎么求，我们可以考虑使用快速幂+多项式取模解决，
复杂度：$O(m\log (n)\log (n))$

设矩阵$G$表示一开始递推式的前m项，$g_i$表示第i项
设多项式$R(x)={\sum }_{i=0}^{m-1}{d}_i{x}^i$
好了我们现在求出了$R(x)$，现在我们要求的是$R(C)\ast G$，将其展开：
$$\sum _{i=0}^{m-1}{d}_i\ast (C^i\ast G)$$
答案就是这东西算出来的矩阵的第一项，
可以发现$C^i\ast G$这个矩阵的第一项就是$g_{i+1}$，也就是说：
$$Ans=\sum _{i=0}^{m-1}{d}_i\ast g_{i+1}$$

Extra

关于递推的前m项怎么算，这个可以用生成函数解决，
我们可以把序列写成多项式$g(x)$，转移也写成多项式形式$c(x)$
这个多项式具有无限多项，满足:
$$g(x)=g(x)\ast c(x)+r$$
其中r为第一项，
移项得：$$g(x)=\frac{r}{1-c(x)}$$
这东西多项式求逆元即可，

这同时启示我们只要存在形如这样的式子即可以用这种方法解决，