常系数齐次线性递推算法学习

简介

定义：设有数列 { a n } 满 足 递 推 关 系 a n = ∑ i = 1 k a n − i f i \{a_n\}满足递推关系a_n=\sum\limits_{i=1}^{k}a_{n-i}f_i { an​}满足递推关系an​=i=1∑k​an−i​fi​，则称该数列满足$k$阶齐次线性递推关系。

求法

现在我们从最基础的矩阵快速幂开始一步一步优化求$a_n$的时间复杂度。

矩阵快速幂

直接上矩阵快速幂来优化递推即可，时间复杂度为$O(k^{3}lo{g}_n)$，非常不优秀，因此我们考虑用更快的方法求出$a_n$。

在我们知道了$a_1,a_2,...a_k$之后想推出$a_n$的方法可以借鉴矩阵快速幂的方法，构造一个$k\ast k$的矩阵 M M