常系数齐次线性递推

最新推荐文章于 2024-08-06 21:39:55 发布

alan_cty

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分类专栏：学习小记线性代数文章标签：常系数齐次线性递推线性代数特征方程

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/alan_cty/article/details/83065815

本文介绍了常系数齐次线性递推的概念，包括特征多项式、Cayley-Hamilton定理，以及如何求解此类递推的通项公式。通过举例和算法解析，展示了在线性代数中的应用。

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前言

上了高二学了数列，知道了如何给出递推求通项，也从数竞同学那里听来了高阶常系数齐次线性递推的通项求法。
那么OI上如何应用呢？
百度了一下发现自己在这一块的技能点为0，就决定学一学QwQ
线性代数渣没办法

特征多项式

若有常数 $λ\lambda$ ，向量 $v→\overrightarrow v$ ，对于n阶矩阵A满足 $λv→=Av→\lambda\overrightarrow v=A\overrightarrow v$
那么称 $λ\lambda$ 为A的特征值， $v→\overrightarrow v$ 为A的特征向量
有一个定理，秩为k的矩阵有k组线性无关的特征向量
我们把式子变一下形
$(A−λI)v→=0(A-\lambda I)\overrightarrow v=0$
I是单位矩阵
这个式子有解的充要条件为 $det(A−λI)=0det(A-\lambda I)=0$
左边的东西显然是一个关于 $λ\lambda$ 的n次多项式，称作A的特征多项式
这个多项式的n个根就是n组特征值了

Cayley-Hamilton定理

设矩阵A的特征多项式为f(x)，那么f(A)=0
这里f(A)可以理解成把多项式里面的乘法换成矩阵乘法
证明：考虑写成 $f(A)=∏i=1n(λiI−A)f(A)=\prod_{i=1}^{n}(\lambda_i I-A)$
如果对于每个特征向量 $vi→\overrightarrow {v_i}$ 都有 $vi→f(A)=0\overrightarrow {v_i}f(A)=0$ ，由于这些特征向量线性无关，所以有f(A)=0
考虑一个特征向量和其对应的特征值
$vi→(λiI−A)=vi→λiI−vi→A\overrightarrow {v_i}(\lambda_i I-A)=\overrightarrow {v_i}\lambda_i I-\overrightarrow {v_i}A$