[最短路] aw1126. 最小花费(单源最短路建图+知识理解+代码细节+好题)

1. 题目来源

链接：1126. 最小花费

相关链接：

• [图+最短路+模板] 五大最短路常用模板)

2. 题目解析

很不错的一道题。

可以将从起点 A 到终点 B 的最优转账路径花费进行如下表示：
$$100=A\ast w_1\ast w_2\ast w_3+...$$
则问题转化为，求 A 最小，则等价于求 $w_1\ast w_2\ast w_3+...$ 最大。即，求乘积的最大值。

在以往最短路问题中，运用几大最短路算法，可以求和的最小值。在本题，需要做简单转化，也可使用最短路模型求解乘积的最大值：

• $w_i$ 是在 $[0,1]$ 之间的数，对 $w_1\ast w_2\ast w_3+...$ 取 $log$，则 $$log(w_1\ast w_2\ast w_3+...)=log{w}_1+log{w}_2+log{w}_3+...$$ 此时，由于 $log$ 函数单调递增，等价于求$$log{w}_1+log{w}_2+log{w}_3+...$$ 的最大值。
• 每个 $log{w}_i\le 0$，求负数的最大值等价于求正数的最小值。则可以对其取反，然后每个数都为正，求正权边的最小值即可。
• 故，本题有 $w_i$ 是在 $[0,1]$ 之间的数(左区间一般不能取到 0)，这个范围限制，才导致全为正权边，可以使用 dijkstra() 算法进行求解。否则，只能使用 spfa()。

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实现细节：

• 虽然分析是要将边权取 $log$、取反，再进行最短路求解。
• 但实际上不需要这样做，现在求乘积最大值，边权也是设到了 $[0,1]$ 之间。就将最短路算法里的加法替代成乘法即可。 这也是算法中的常见操作，并且需要将 dist[S] = 1，然后将更新操作的 dist[j]=dist[t]+w 改变为 dist[j]=dist[t]*w 就行了。
• 这样操作就相当的方便了。以往的选取一条边，距离需要加和。现在就将这个加和改成了乘积。 以前 0x3f3f3f3f 是不可达的点，现在 0 是不可达的点。所以 dist 数组也不必初始化了。最终 dist[T] 放的其实就是起点到终点所有路径中乘积的最大值。
• 并且在重边处理上，需要取权值最大的一条边，这条边的手续费就少。在更新时也是，取 max 而不是取 min，保证乘积最大！

考虑清楚，细节实现！

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简单总结：

• 加法最小值：
  • 无负权：dijkstra()、spfa
  • 有负权：spfa
• 加法最大值：
  • 不会严格证明，不知道 spfa 能否搞定
• 乘法最小值(关于乘法，边权只能是全为正，不能为负。一旦为负，最大值、最小值成一个负数就立马颠倒过来了，十分难求，需要维护更多的信息。一般来讲，乘法求最值，边权都是正数）：
  • $w_i\ge 1$，等价于无负权，取 $log$ 后边权为正。dijkstra()、spfa
  • $w_i\ge 0$，等价于有负权，spfa
• 乘法最大值：
  • $0\le w_i\le 1$，取 $log$ 后边权为负，求负数最大等于求正数最小，正权图。dijkstra()、spfa
  • $w_i\ge 0$，存在负权，spfa
• 在此，$w_i$ 是否能够取 0 值得商榷。

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小知识点：

• 如何对double型变量进行memset获得极大值或极小值
• 这个是重要的知识点，不要以为初始化 memset(dist, 0x3f, sizeof dist) 是将 double 类型的 dist 初始化为极大值。实际上它和 0 差不多。
• 一般来讲可以循环初始化。或者采用链接中的方法。
  • 极大值的时候，可以选择0x7f，如果觉得这个数字过于夸张，可以选择0x42或者0x43。同样，想清最小值的时候，可以选择0xfe或0xc2。

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时间复杂度：$O(n^2)$，由算法决定

空间复杂度：$O(n)$

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朴素版 dijkstra

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2005;

int n, m, S, T;
double g[N][N];
double dist[N];
bool st[N];

void dijkstra() {
    dist[S] = 1;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) 
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] < dist[j]))	// 这个是最大值
                t = j;
        
        st[t] = true;
        
        // 取最大值
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = max(dist[j], dist[t] * g[t][j]);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    while (m -- ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        double t = (100.0 - c) / 100;           // 变为 0~1 的小数
        g[a][b] = g[b][a] = max(g[a][b], t);    // 建图，乘积最大值，取重边较大的一个
    }
    
    scanf("%d%d", &S, &T);
    
    dijkstra();
    
    printf("%.8lf\n", 100.0 / dist[T]);
    
    return 0;
}

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spfa+循环队列：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2005, M = 1e5*2;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
double dist[N];
bool st[N];
int q[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void spfa() {
    memset(dist, 0, sizeof dist);
    
    int hh = 0, tt = 1;
    q[0] = S, dist[S] = 1;
    
    while (hh != tt) {
        auto t = q[hh ++ ];
        
        if (hh == N) hh = 0;
        
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            double cost = (100.0 - w[i]) / 100;
            if (dist[j] < dist[t] * cost) {			// 注意这里的符号，松弛条件改变
                dist[j] = dist[t] * cost;
                if (!st[j]) {
                    st[j] = true;
                    q[tt ++] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                }
            }
        }
    }
    
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    scanf("%d%d", &S, &T);
    
    spfa();
    
    printf("%.8lf\n", 100.0 / dist[T]);
    
    return 0;
}

---

spfa+转换为 log 后直接求最短路：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 2005, M = 2e5+5;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
double w[M];
double dist[N];
bool st[N];
int q[N];

void add(int a, int b, double c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void spfa() {
    // 不要对 double 类型使用 memset 0x3f 来初始化极大值，这样做只会是一个和 0 差不多的小数
    // 详解查看：https://blog.youkuaiyun.com/PoPoQQQ/article/details/38926889
    //memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    for (int i = 0; i < N; i ++ ) dist[i] = 1000;       
    int hh = 0, tt = 1;
    q[tt ++ ] = S;
    dist[S] = 0;
    st[S] = true;
    
    while (hh != tt) {
        auto t = q[hh ++ ];
        
        if (hh == N) hh = 0;
        
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    st[j] = true;
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        double t = (100.0 - c) / 100;
        add(a, b, -log(t)), add(b, a, -log(t));
    }
    
    scanf("%d%d", &S, &T);
    spfa();
    printf("%.8lf\n", exp(dist[T]) * 100);
    
    return 0;
}

---

堆优化 dijkstra 处理，注意谁大选谁…大根堆，初始化最小值：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<double, int> PDI;

const int N = 2005, M = 2e5+5;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
double dist[N], w[M];
bool st[N];

void add(int a, int b, double c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

void dijkstra() {
    for (int i = 0; i < N; i ++ ) dist[i] = 0;      // 由于堆中谁大选谁，所以需要初始化 dist 最小值...
    
    priority_queue<PDI, vector<PDI>> heap;          // 大顶堆，需要保证选出堆中 dist 最大值
    dist[S] = 1;
    heap.push({dist[S], S});
    
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();
        
        double d = t.first;
        int idx = t.second;
        
        if (st[idx]) continue;
        st[idx] = true;
        
        for (int i = h[idx]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[idx] * w[i]) {
                dist[j] = dist[idx] * w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    while (m -- ) {
        int a, b;
        double c;
        scanf("%d%d%lf", &a, &b, &c);
        c = (100.0 - c) / 100;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    scanf("%d%d", &S, &T);
    dijkstra();
    printf("%.8lf\n", 100.0 / dist[T]);
    
    return 0;
}

---

本题还可以从终点 100 倒推到起点，乘法变除法，就不再赘述了。