[线性dp] 最强对手矩阵(牛客+线性dp+二维前缀和+代码优化+思维+好题)

1. 题目来源

链接：最强对手矩阵

相关：

• [Edp] lc53. 最大子序和(dp+分治+算法优化+详细分析)
  
• 知乎：最大子段和到最大子矩阵的一些思考
• LC 高分题解，特别棒：面试题 17.24. 最大子矩阵

2. 题目解析

非常非常经典的一道题目，最大子矩阵、最大子阵和等等…方法也是多种多样，简单罗列一下，规定行列分别为 $n、m$

• 暴力：$O(n^3{m}^3)$
• 二维前缀和：$O(n^2{m}^2)$
• 列压缩，求一维最大子段和：$O(n^{2}m)$
• 当 $n>m$ 矩阵可翻转，则为 $O(n{m}^2)$

4 种做法，层层优化，对应着四种境界吧。

---

代码：

二维前缀和：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 405;

int n, m;
int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            cin >> a[i][j];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    
    int res = -1e9;
    for (int x1 = 1; x1 <= n; x1 ++ )
        for (int x2 = x1; x2 <= n; x2 ++ )
            for (int y1 = 1; y1 <= m; y1 ++ )
                for (int y2 = y1; y2 <= m; y2 ++ ) 
                    res = max(res, s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

列压缩，dp，20 分能得 14 分。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 405;

int n, m;
int a[N][N], sum[N][N], tmp[N], f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            cin >> a[i][j];
    
    for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + a[i][j];
    
    int res = -1e9;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for (int j = i; j <= n; j ++ ) {
            for (int k = 1; k <= m; k ++ ) tmp[k] = sum[j][k] - sum[i - 1][k], f[k] = -1e9;
            f[1] = tmp[1];
            for (int q = 2; q <= m; q ++ ) f[q] = max(f[q - 1] + tmp[q], tmp[q]), res = max(res, f[q]);
        }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

列压缩 + dp + 行列转换， 20 分拿满。

来自官方题解，各种优化基本都用到了，很清楚明了的一种写法~

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	vector<vector<int>> a(n+1,vector<int>(m+1));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	if(n>m){
		vector<vector<int>> b(m+1,vector<int>(n+1));
		for(int i=1;i<=m;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				b[i][j]=a[j][i];
			}
		}
		swap(n,m);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				b[i][j]+=b[i-1][j];
			}
		}
		ll ans=-0x3f3f3f3f;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i;j<=n;j++){
				ll res=0;
				for(int k=1;k<=m;k++){
					res=max(res,0ll)+b[j][k]-b[i-1][k];
					ans=max(ans,res);
				}
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}else{
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				a[i][j]+=a[i-1][j];
			}
		}

		ll ans=-0x3f3f3f3f;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i;j<=n;j++){
				ll res=0;
				for(int k=1;k<=m;k++){
					res=max(res,0ll)+a[j][k]-a[i-1][k];
					ans=max(ans,res);
				}
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}