[E二分] lc35. 搜索插入位置(二分+经典+详细分析)

1. 题目来源

链接：35. 搜索插入位置

2. 题目解析

这个二分就很独特。虽说是个简单题。

在二分数组中有 target 的时候，不论采用哪种二分模板，都是能够出结果的。但是当数组中没有这个 target 的时候，就如这题，那么两个二分方法最终停留的位置是哪里呢？

其实，当采用这个模板：

while (l < r) {
    int mid = l + r >> 1;
    if (nums[mid] >= target) r = mid;
    else l = mid + 1;
}

当最终 nums[l] != target 的时候，停下来的位置应该是 nums[l] > target 的情况，即找到了第一个大于等于 target 的数。

且由于 mid=l+r>>1，所以当 l=0, r=nums.size() 的时候，mid 也不可能会越界，因为首先 while 循环决定了 l != r，那么，l 就不可能和 r 同时取到 nums.size()，且由于除法向下取整，就导致 mid 不可能取到 nums.size()。

而采用这个模板时：

while (l < r) {
    int mid = l + r + 1>> 1;
    if (nums[mid] <= target) l = mid;
    else r = mid - 1;
}

最终停下来的情况是找到最后一个小于等于 target 的数。

针对这个模板，r 就不能初始化为 nums.size()，因为整个序列都没 target 大，当 l = nums.size() - 1 的时候，mid = nums.size() 就越界了。故要处理这种情况，要么进行判断，要么增加哨兵位置，都比较麻烦。

其实可以想象到，一个虚拟的 target 插入在两个位置之间，本来应该是二分直接找到 target 取等号的，第一个模板是停在了大于 target 的位置，即 target 的右边一个数。而第二个模板是停在了小于 target 的位置，即 target 的左边一个数。

故，当数组中不存在待查找的 target 时，最后二分停留的位置也一定要搞清楚！对于这种插入的题目来讲是很关键的！

并且这个题，拿第一个模板写起来很麻烦。

时间复杂度：$O(logn)$
空间复杂度：$O(1)$

代码：

// 模板一
class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.size(); 	// 注意序列都没 target 大的话，最后要返回 nums.size()，故右边界要取到 num.size()
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;		// 这种写法下，即是 r=nums.size()，也不存在越界情况。分析见上面的文字分析！
            if (nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;	// 最后一定停在第一个大于等于 target 的位置，就是 target 要插入的位置
    }
};

// 模板二
class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while (l < r) { 
            int mid = l + r + 1>> 1;
            if (nums[mid] <= target) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        // 没找到 target 的情况下。最后一定停在最后一个小于 target 的最大的那个数的位置，则下一个位置就是 插入位置
        if (nums[l] < target) return l + 1;	 
        return l;
    }
};