[前缀和+模板] 前缀和模板

最新推荐文章于 2025-03-14 16:01:25 发布

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#前缀和 #算法模板

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本文介绍了一维和二维前缀和的概念及其应用。一维前缀和主要用于快速计算数组中任意区间的和，而二维前缀和则用于解决矩阵中子矩阵求和的问题。通过预处理，这两种方法均可将查询时间复杂度降至O(1)。

文章目录

0. 前言

预处理数组的前缀和，可以达到 $O (1)$ 时间得到区间和。前缀和大致分为两类，一维前缀和、二维前缀和。

预处理前缀和数组下标均从 1 开始，不用考虑边界情况，保证推导式子的统一性。

加速 cin、cout 的技巧：

int main() {
    // main 后加上这两句，可以媲美scanf、printf，原理是关闭cin、cout与scanf、printf的数据同步流(貌似)
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
	
	----
}

1. 一维前缀和

Biu

主要思想：

下标从 1 开始
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

在这里插入图片描述

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n, m;
int a[N], s[N]; 

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = a[i] + s[i - 1];
    while (m --) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

2. 二维前缀和

Biu

简单画下图很容易理解，主要思想如下：

S[i, j] = 第 i 行 j 列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：S[x2,y2]-S[x1-1,y2]-S[x2,y1-1]+S[x1-1,y1-1]

在这里插入图片描述

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3+5;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        for (int j = 1; j <= m; ++j) 
            cin >> a[i][j];
            
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        for (int j = 1; j <= m; ++j) 
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
            
    while (q --) {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    return 0;
    
}