[LeetCode 周赛186] 4. 带限制的子序列和(动态规划优化、优先队列、巧妙解法)

1. 题目来源

链接：5180. 带限制的子序列和

2. 题目说明

3. 题目解析

方法一：dp优化+巧妙解法

属实没搞懂怎么下手…看了大佬的讲解很久…dp 蒻鷄太难了…

最大子序列问题的变种，也是一道 dp 优化问题。为什么需要优化呢，先来看看暴力 dp 的思路吧。

• dp[i] 表示强制选择第 i 结尾的最大子序列的最大和值是多少
• dp[i]=nums[i-1]+max{dp[j]},i-k<=j<i 时间复杂度 $O(nk)$ 数据范围决定了，这个时间复杂度不理想状态下会达到 $O(n^2)$，那么铁定 TLE

所以需要进行优化。优化思路如下：

• max{dp[j]} 可以使用一个优先队列进行维护，队列元素为一个 pair 对，即 pair<dp[i], i>，那么在优先队列内会按照 dp[i] 从大到小存储，那么转移的时候取优先队列队头就行了。但同时需要满足 i-k<=j<i 这个条件，将条件进行转化那么就有 i - top.second > k 成立，即不在范围内的 top 元素将其 pop 出队，因为这个 dp[j] 对于以后的状态转移不会对后面的 dp[i] 造成影响了，即直接弹出队头
• 若弹出还非空，那么 dp[i] 就从当前值和 ·top().first + 当前值 两者取最
  大值进行转移就可以了

这样做的目的就是使用优先队列成功将 max{dp[j]},i-k<=j<i 的时间复杂度降为 $log$ 级的复杂度，那么整体复杂度即为 $O(nlogn)$ 是一个理想的复杂度情况了。

学的太渣了…dp 优化还没经历过，虽然感觉挺好理解的这种方法，但还是在本地进行了单步调试才理解了这个思想，确实强啊。近期也准备针对 dp 开始刷题了，希望能得到进步。

参见代码如下：

// 执行用时 :768 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗 :157 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

#define PII pair<int, int>
#define MP(x, y) make_pair(x, y)

const int MAXN = 1e5 + 50;
priority_queue<PII> que;
int dp[MAXN];

class Solution {
public:
    int constrainedSubsetSum(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        
        while(!que.empty()) que.pop();
        
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            int v = nums[i - 1];
            dp[i] = v;
            while(!que.empty() and i - que.top().second > k) que.pop();
            if (!que.empty()) dp[i] = max(dp[i], que.top().first + v);
            que.push(MP(dp[i], i));
        }
        
        int ans = dp[1];
        for (int i = 2; i <= n; i++) ans = max(ans, dp[i]);
        return ans;
    }
};