快速荷叶叶变换 fht.cpp

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本文介绍了一种优化的大规模求和算法，将O(nm)复杂度降低至O(n+m)，并通过数学变换进一步优化至适用于n,m<=1e9的情况。算法通过拆分求和式子并利用整除分块技巧，有效解决了大规模数据下的计算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【一句话题意】求函数 $fht(n,m)=Σi=1nΣj=1m(n mod i)∗(m mod j)fht(n,m)=\Sigma^n_{i=1}\Sigma^m_{j=1}(n\;mod\;i)*(m\;mod\;j)$ 的值。 $n, m < = 1 e 9$
【分析】首先拆开求和式子得到 $Σi=1nΣj=1m(n mod i)∗(m mod j)==Σi=1n(n mod i)∗Σj=1m(m mod j)\Sigma^n_{i=1}\Sigma^m_{j=1}(n\;mod\;i)*(m\;mod\;j)==\Sigma^n_{i=1}(n\;mod\;i)*\Sigma^m_{j=1}(m\;mod\;j)$
这样就可以化 $O (n m)$ 算法为 $O (n + m)$ 算法。但是n和m大于1e8，所以优化的程度不够，这个时候就需要优秀的数学变换。证明如下。
$Σi=1n(n mod i)\Sigma^n_{i=1}(n\;mod\;i)$
$=Σi=1n(n−⌊ni⌋∗i)=\Sigma^n_{i=1}(n- \lfloor \frac{n}{i}\rfloor*i)$
$=Σi=1nn−Σi=1ni∗Σi=1n⌊ni⌋=\Sigma^n_{i=1}n-\Sigma^n_{i=1 }i*\Sigma^n_{i=1}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$
$=n2−n∗i∗Σi=1n⌊ni⌋=n^2-n*i*\Sigma^n_{i=1}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$
一个明显的可以整除分块的式子，对于 $⌊ni⌋\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 其实只有 $2n2\sqrt n$ 种情况。在i小于 $n\sqrt n$ 时 $⌊ni⌋\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的值其实是不连续的，共有 $n\sqrt n$ 种情况。当i大于 $n\sqrt n$ 时， $⌊ni⌋\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的值一定连续且只有 $n\sqrt n$ 种情况。
【code】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1e9+7;
ll n,m;
inline ll calc(ll x){
	ll j,s,ans=x*x;
	for (ll i=1;i<=x;i++){
		j=x/(x/i);//特别体会一下这句话，可以用参变分离证明一下j是x/i中最大的i。
		ans=ans-(i+j)*(j-i+1)/2*(x/i);
		i=j;//传递上界为下一组值的下界
	}
	return ans%P;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	cout<<calc(n)%P*calc(m)%P<<endl;
	return 0;
}