NOIP2016提高组快速荷叶叶变换

最新推荐文章于 2018-10-27 16:17:11 发布

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分类专栏： noip 根号算法逆元文章标签： noip提高组快速荷叶叶变换分块取模根号算法

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本文介绍了一种高效的算法，用于解决大规模数据集上的模数求和问题。通过将问题拆分成若干子问题并利用数学性质进行优化，可以将时间复杂度降低到O(√N)。适用于竞赛编程和高性能计算场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Data Constraint

对于 40% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 1000

对于 60% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 10^6

对于 100% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 10^9

Solution

我们将N和M分开讨论。对于一个固定的i， $\sum^M_{j=1}$ （M mod j）我们发现当 $\lfloor{M/j}\rfloor$ 固定为一个值k时，（M mod j）会随着j的增大而减小，而且每次减小的值都为k，直到 $\lfloor{M/j}\rfloor$ 改变。这样的话，我们就可以采用分块。每次将 $\lfloor{M/j}\rfloor$ 相同的所有余数统计起来，这样就可以统计出所有的 $\sum^M_{j=1}$ （M mod j），最后在用相同的方法统计一下N的，两者相乘即可。因为一个数的约数不会超过2* $\sqrt{N}$ ，所以整个时间复杂度为O( $\sqrt{N}$ )。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll maxn=1000000007;
ll n,m,i,t,j,k,l,ans,x,y,p;
ll mi(int y){
    if (y==1) return 2;
    ll t=mi(y/2);
    if (y%2) return t*t%maxn*2%maxn;return t*t%maxn;  
}
int main(){
//  freopen("data.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);i=1;
    while (i<m){
        k=m%i;
        j=m/(m/i);
        l=m%j;
        t=m/i;
        p=(k-l)/t+1;
        x=(x+(k+l)%maxn*p%maxn*mi(maxn-2)%maxn)%maxn;
        i=j+1;
    }
    i=1;
    while (i<n){
        k=n%i;
        j=n/(n/i);
        l=n%j;
        t=n/i;
        p=(k-l)/t+1;
        y=(y+(k+l)%maxn*p%maxn*mi(maxn-2)%maxn)%maxn;
        i=j+1;
    }
    ans=x*y%maxn;
    printf("%lld\n",ans);
}