【NOIP提高组模拟】快速荷叶叶变换

最新推荐文章于 2018-10-27 16:17:11 发布

TARsier_Gu

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分类专栏： NOIP 文章标签： NOIP 等差数列快速乘

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本文介绍了一种数学算法的优化方法，通过将复杂表达式分解为两部分分别计算，提出了一个高效的计算模型。该方法利用了特定的数学性质，能够有效地减少计算量并提高运算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Solution

我们可以把式子进行拆分，变成 $\sum^N_{i=1}(N\mod i)*\sum^M_{j=1}(M \mod j)$ ，也就是前一半和后一半可以分开计算。假设计算 $\sum^N_{i=1}(N\mod i)$ ，列举出所有情况，发现可以进一步推出公式 $N^2-\sum^M_{i=1}\lfloor{N/i}\rfloor*i$ ，再推导，发现了对于某一个i来说，若是 $N\mod i≠0$ ，那么 $N\mod (i+1)$ 一定等于 $N\mod i+1$ ，直到 $N\mod i=0$ ，所以可以用一个指针来表示当前的i是多少，每一次当 $N\mod i≠0$ 时就用等差数列来求出一段数的结果，并把i相应后跳。

Code

const mo=1000000007;
var
    n,m,i,j:longint;
    ans1,ans2,tot,sum,maxn,s1,s2:int64;
function ksc(x,y:int64):int64;
var sum:int64;
begin
    sum:=sqr(trunc(sqrt(x)));
    ksc:=sum mod mo;
    ksc:=(ksc*y)mod mo;
    ksc:=(ksc+(x-sum)*y)mod mo;
    exit(ksc);
end;
function doit(x:longint):int64;
begin
    doit:=ksc(x,x);
    i:=1;
    while i<=x do
    begin
        sum:=x div i;
        maxn:=x div sum;
        s1:=i+maxn;s2:=maxn-i+1;
        if s1 mod 2=0 then s1:=s1 div 2 else s2:=s2 div 2;
        tot:=ksc(ksc(s1,s2),sum);
        doit:=doit-tot;
        while doit<0 do doit:=doit+mo;
        i:=maxn+1;
    end;
end;
begin
    readln(n,m);
    ans1:=doit(n);
    ans2:=doit(m);
    writeln(ksc(ans1,ans2));
end.