18、有限自由度量子力学中的量子态研究

有限自由度量子力学中的量子态研究

1. 酉算子与韦尔算子变换

在有限自由度量子力学中，存在一个酉算子 (U(S)) 作用于表示希尔伯特空间 (H = L^2_{dq}(\mathbb{R}^f)) 上，使得 (\hat{r}’ = U^{\dagger}(S) \hat{r} U(S))。根据相关公式，韦尔算子的变换形式为：
[U^{\dagger}(S) W(r) U(S) = e^{i r \cdot (\Sigma_1 S \hat{r})} = e^{i (\tilde{S}^T r) \cdot (\Sigma_1 \hat{r})} = W(\tilde{S}^T r)]
其中，若 (S = \begin{pmatrix} A & C \ C^T & B \end{pmatrix})，(A, B, C \in M_f(\mathbb{R}))，则 (\tilde{S} = \begin{pmatrix} D & C \ B & A \end{pmatrix})，其转置 (\tilde{S}^T = \begin{pmatrix} D^T & C^T \ C & A^T \end{pmatrix})。

设 (\rho \in B^+ 1(H)) 为 (f) 个玻色自由度的密度矩阵，通过对正则算子进行辛变换得到状态 (\rho_S := U(S) \rho U^{\dagger}(S))。由于上述韦尔算子的变换性质，(\rho) 和 (\rho_S) 的特征函数满足 (E {\rho_S}(r) = E_{\rho}(\tilde{S}^T r))。

2. 代数方法中的量子态 </