25、无限自由度量子力学：探索与解析

无限自由度量子力学：探索与解析

1. 无限自由度量子系统的特性

无限自由度量子系统展现出诸多独特性质，如趋向平衡的弛豫现象、相变以及 CAR 和 CCR 存在不等价表示等，这些特性可借助代数量子统计力学的方法和技术进行有效处理。与标准量子力学不同的是，在无限维情形下，通常已知相关可观测量的代数性质，但一般没有先验给定的希尔伯特空间表示，该表示更多地取决于所考虑系统的物理性质。

1.1 趋向平衡的弛豫

离散化混沌经典系统时，误差的指数增长或恒定熵产生等性质仅能在与离散化参数呈对数关系的时间尺度内维持。超过这一时间尺度，由于允许状态的数量有限，会出现准周期性和递归现象。在经典动力系统中，通过过渡到连续状态可消除递归，但在量子力学中，由于 ℏ> 0 和海森堡不确定性关系导致相空间的内在离散化，这是不可能的。不过，通过增加自由度的数量可以使递归时间越来越长。

当在特定示例中令 N →∞时，递归时间会发散，与有限数量的自旋不同，无限自旋链可能会趋向平衡。具体而言，定义函数 (f_N(0, t)) 如下：
[
f_N(0, t) := \sum_{i = 1}^{(N - 1)/2} \cos \frac{t}{2^i} = \sum_{i = 1}^{(N - 1)/2} \cos \frac{2t}{2^{i + 1}} = \sum_{i = 2}^{(N + 1)/2} \cos \frac{2t}{2^i} = \frac{\cos 2^{-(N + 1)/2}t}{\cos t} f_N(0, 2t)
]
当 N →∞时，(f_N(0, t)) 趋向于函数 (f_{\infty}(t))，该函数满足 (f_{\