16、有限自由度量子力学：从基础理论到实际应用

有限自由度量子力学：从基础理论到实际应用

1. 阿贝尔冯·诺伊曼代数的同构

在研究量子力学的代数结构时，我们会考虑Gelfand同构 Γ : M → C(XM)。假设 ψ ∈ H 是 M 的循环向量，我们可以定义线性泛函 F : C(XM) → C，其表达式为 F(f) := ⟨ψ | Γ⁻¹[f] |ψ ⟩。由于 Γ⁻¹ 是同构且保持正性，根据Riesz表示定理，存在一个正的Borel测度 μ 于 XM 上，使得 ⟨ψ | Γ⁻¹[f] |ψ ⟩ = ∫XM dμ (x) f(x) = μ(f)。

这里，μ 的支撑集是整个 XM。否则，会存在 Y ⊂ XM 和一个在 Y 上非零的正连续函数 f，使得 μ(f) = 0 = ⟨√Γ⁻¹[f]ψ | √Γ⁻¹[f]ψ ⟩。因为 ψ 是 M 的循环向量，它对于 M′ 和 M ⊆ M′ 是分离的，所以 √Γ⁻¹[f]| ψ ⟩ = 0 意味着 Γ⁻¹[f] = 0，进而 f = 0。

对于所有 X ∈ M，有 ∫XM dμ (x) |Γ X |² = ⟨ψ | Γ⁻¹[Γ[X†]Γ[X] |ψ ⟩ = ∥X| ψ ⟩∥²。通过将线性算子 U : X| ψ ⟩ → Γ[X] 扩展到 M| ψ ⟩ 和 C(XM) 的 L² - 闭包，我们可以构造一个酉算子 U : H → K := L²μ(XM)。可以发现 U X U † (Γ[Y ]) = U X Y = Γ[X Y ] = Γ[X] (Γ[Y ])，这表明 U X U † 可以由 C(XM) 上的乘法算子表示。利用这个关系可以证明 U M U † 是 B(K) 的一个冯·诺伊曼子代数，并且由于连续函数的乘法代数在 L∞μ