28、无限自由度量子力学中的多种系统与状态研究

无限自由度量子力学中的多种系统与状态研究

1. 无限自由度量子力学基础与相关性质

在无限自由度量子力学中，有如下重要的公式与性质。首先，$\sigma(n, B_{t}^{m})$的表达式为：
$\sigma(n, B_{t}^{m}) = \frac{\alpha^{t + 1}}{\alpha^{2} - 1}[m_1n_1 c - m_2n_2 b - (m_1n_2 + m_2n_1) a + m_1n_2\alpha^{-1} + m_2n_1 \alpha] + O(\alpha^{-t})$
$= \frac{1}{\alpha^{2} - 1}\sum_{k = 0}^{2}r_k\alpha^{t + k} + O(\alpha^{-t}) = \frac{1}{\alpha^{2} - 1}\sum_{k = 0}^{2}r_k[\alpha^{t + k} + \alpha^{-(t + k)}] + O(\alpha^{-t})$
其中系数$r_k \in Z$，所以该和为整数。当选择$\theta = \alpha^{2}s \mod (1)$，$s \in Z$时，$\theta \sigma(n, B_{t}^{m}) = s(\alpha^{2} - 1)\sigma(n, B_{t}^{m}) \mod (1) = O(\alpha^{-t}) \mod (1)$。当$t \to +\infty$时，相关函数消失，满足范数渐近阿贝尔性。对于具有紧支撑的$f$和$g$，即存在$K > 0$，使得当$|n| \geq K$时，$f(n) = g(n) = 0$，有：
$\vert\vert[W_{\theta}(f), \Theta_{t}^{