14、有限自由度量子力学中的C*代数相关研究

有限自由度量子力学中的C*代数相关研究

1. 谱映射定理与正算子

1.1 谱映射定理

对于可交换的算子 (A - \alpha_i)，(P(A) - a) 不可逆当且仅当至少有一个 (A - \alpha_i) 不可逆，即 (a \in Sp(P(A))) 当且仅当至少有一个 (\alpha_i \in Sp(A))。由于 (P(\alpha_i) = a)，所以 (Sp(P(A)) = P(Sp(A)))，也就是 (P(z)) 在 (Sp(A)) 上取得的值的集合。若 (A = A^{\dagger})，则 (Sp(A^2) = (Sp(A)^2) \subseteq [0, |A|^2])。对于自伴算子 (A)，根据多项式在连续函数的交换 (C^*) 代数中的稠密性，可将相关结论扩展到 (f(Sp(A)) = Sp(f(A)))，这就是谱映射定理。

1.2 正算子的定义与性质

正算子是一类特别重要的有界自伴算子，其谱由非负值组成，从物理角度看，它们代表的可观测量在测量时总是返回正结果。一个 (C^*) 代数 (A) 中的算子 (A) 为正（(A \geq 0)），当且仅当 (A = A^{\dagger}) 且 (Sp(A) \subseteq R^+)。给定 (A, B \in A)，当 (A - B \geq 0) 时，记为 (A \geq B)。正算子 (A \geq 0) 具有 (A = B^{\dagger} B) 的形式，且有唯一的正平方根 (\sqrt{A}) 使得 (A = \sqrt{A} \sqrt{A})。

当 (A = B(H)) 时，自伴算子 (X \in B(H)) 的正性等价于对所有 (\psi \