20、有限自由度量子力学中的动力学与态变换

有限自由度量子力学中的动力学与态变换

1. 关联矩阵的推导

在量子力学中，关联矩阵的推导是一个重要的环节。从以下公式出发：
[
\begin{align }
\text{Tr}\left(e^{-\beta\epsilon_i a^{\dagger}_i a_i}e^{z_i a_i - z^{ } i a^{\dagger}_i}\right) &= e^{-\frac{|z_i|^2}{2}}\text{Tr}\left(e^{z_i a_i}e^{-\beta\epsilon_i a^{\dagger}_i a_i}e^{-z^{ }_i a^{\dagger}_i}\right)\
&= e^{-\frac{|z_i|^2}{2}}\frac{1}{\pi}\int dw_i \langle w_i | e^{z_i a_i}e^{-\beta\epsilon_i a^{\dagger}_i a_i}e^{-z^{ }_i a^{\dagger}_i} | w_i \rangle\
&= e^{-\frac{|z_i|^2}{2}}\frac{1}{\pi}\int dw_i e^{-|w_i|^2} \langle \text{vac} | e^{(z_i + w^{ }_i) a_i}e^{-\beta\epsilon_i a^{\dagger}_i a_i}e^{-(z^{ }_i - w_i) a^{\dagger}_i} | \text{vac} \rangle
\end{align }
]
考虑到对于任意(\alpha