17、量子态：有限自由度量子力学中的核心概念

量子态：有限自由度量子力学中的核心概念

在量子力学中，量子态是描述量子系统物理状态的关键概念。本文将深入探讨量子态的相关知识，包括纯态、混合态、密度矩阵、不确定性关系以及高斯态等重要内容。

量子态基础：纯态与混合态

量子态最简单的实例是希尔伯特空间向量。当一个量子系统处于由 $\psi \in H$ 描述的物理状态时，系统可观测量 $X = X^{\dagger} \in B(H)$ 具有平均值或期望值 $\langle X \rangle_{\psi} := \langle \psi | X | \psi \rangle$。一维投影 $P_{\psi} := | \psi \rangle \langle \psi |$ 被称为纯态，它能提供关于系统最丰富的信息，是经典评估泛函 $\delta_x(f) = f(x)$ 的量子对应。

然而，在实际中，往往难以精确指定一个向量态，更多的是系统物理状态对应于一个投影算符 $P_j$，它以一定权重 $0 \leq \lambda_j \leq 1$ 出现在投影算符的统计系综 $J$ 中，且 $\sum_{j \in J} \lambda_j = 1$。这种情况下，系统的状态是混合态，即纯态的混合。对于混合态，可观测量的平均值是纯态平均值的线性凸组合：
[
\langle X \rangle_{\rho} := \sum_{j \in J} \lambda_j \langle \psi_j | X | \psi_j \rangle = Tr(\rho X)
]
其中，$\rho := \sum_{j \in J} \lambda_j | \psi_j \rangle \langle \psi_j |