F#函数式编程与算法实现详解

1、声明一个函数 g: int -> int，其中 g(n) = n + 4。

在 F# 中可以这样声明：let g n = n + 4

2、声明一个函数 h: float * float -> float，其中 h(x, y) = x² + y²。

以下是声明该函数的代码：let h (x, y) = x * x + y * y;;

3、声明一个递归函数 f: int -> int，其中当 n ≥ 0 时，f(n) = 1 + 2 + · · · + (n − 1) + n。（提示：使用 0 和 n 作为模式的两个子句。）给出该声明对应的递归公式。计算 f(4) 的值。

递归函数声明：

```ocaml
let rec f = function
  | 0 -> 0
  | n -> n + f(n - 1)

递归公式：

• f(0) = 0
• f(n) = n + f(n - 1) （n > 0）

f(4) 的计算过程：

f(4)
= 4 + f(3)
= 4 + (3 + f(2))
= 4 + (3 + (2 + f(1)))
= 4 + (3 + (2 + (1 + f(0))))
= 4 + (3 + (2 + (1 + 0)))
= 10

4、斐波那契数列 F0, F1, F2, … 定义如下：F0 = 0，F1 = 1，Fn = Fn - 1 + Fn - 2。因此，该数列的前几项是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …。声明一个 F# 函数来计算 Fn。使用包含三个子句的声明，其中模式对应上述定义的三种情况。给出 F4 的计算过程。

## F# 函数声明

```fsharp
let rec fib n =
    match n with
    | 0 -> 0
    | 1 -> 1
    | n -> fib (n - 1) + fib (n - 2)

F4 的计算

F₄ = F₃ + F₂
= (F₂ + F₁) + (F₁ + F₀)
= ((F₁ + F₀) + F₁) + (F₁ + F₀)
= ((1 + 0) + 1) + (1 + 0)
= 3

##5、声明一个递归函数 sum: int * int -> int，其中对于 m ≥ 0 和 n ≥ 0，sum(m, n) = m + (m + 1) + (m + 2) + … + (m + (n - 1)) + (m + n)。（提示：使用 (m,0) 和 (m,n) 作为模式的两个子句。）给出该声明对应的递归公式。
```markdown
声明：
```ocaml
let rec sum (m, n) = 
  match (m, n) with
  | (m, 0) -> m
  | (m, n) -> m + sum(m + 1, n - 1);;

递归公式：
- sum(m, 0) = m
- sum(m, n) = m + sum(m + 1, n - 1)，其中 m ≥ 0，n ≥ 0。

##6、考虑以下声明：let a = 5;; let f a = a + 1;; let g b = (f b) + a;; 求从这些声明得到的环境，并写出表达式 f 3 和 g 3 的求值结果。
从这些声明得到的环境为 `[a → 5, f → (fun a -> a + 1), g → (fun b -> (f b) + a)]`。表达式 `f 3` 的求值结果为 `4`，表达式 `g 3` 的求值结果为 `9`。

##7、声明一个函数 f: int -> bool，使得当且仅当 n 能被 2 或 3 整除，但不能被 5 整除时，f(n) = true。写出 f(24)、f(27)、f(29) 和 f(30) 的预期值，并与结果进行比较。提示：当 n%q = 0 时，n 能被 q 整除。
在 F# 中，函数可以这样声明：

```fsharp
let f n = (n % 2 = 0 || n % 3 = 0) && (n % 5 <> 0)

预期值：

• f(24) 为 true ，因为 24 能被 2 和 3 整除且不能被 5 整除；
• f(27) 为 true ，因为 27 能被 3 整除且不能被 5 整除；
• f(29) 为 false ，因为 29 既不能被 2 也不能被 3 整除；
• f(30) 为 false ，因为 30 能被 5 整除。

将这些值代入函数 f 中得到的结果与预期值一致。

8、声明一个 F# 函数 pow: string * int -> string ，其中 pow(s, n) 表示将字符串 s 连接 n 次，字符串连接用 + 表示。

可以使用以下代码声明该函数：

let rec pow (s: string, n: int) = 
    if n = 0 then "" 
    elif n = 1 then s