19、有限自由度量子力学中的量子态与动力学

有限自由度量子力学中的量子态与动力学

1. 量子态相关基础概念

1.1 态的变换与熵的关系

对于任意 $\rho \in S(S)$ 和酉矩阵 $U_j \in M_N(\mathbb{C})$，$j \in J$，以及权重 $0 < \lambda_j < 1$ 且 $\sum_{j\in J} \lambda_j = 1$，定义 $\tilde{\rho} := \sum_{j\in J} \lambda_j U_j \rho U_j^{\dagger}$。若 $\rho = \sum_{i=1}^{N} r_i| r_i \rangle\langle r_i |$，则酉旋转后的矩阵 $U_j \rho U_j^{\dagger}$ 具有相同的谱，且它们的凸组合 $\tilde{\rho} \succeq \rho$。

考虑系统 $S$ 的所有密度矩阵的凸集 $B_1^+(H)$，若 $S_{ord}(S)$ 是全序的，那么最混合的 $\rho \in S_{ord}(S)$ 具有最大的熵，即 $\rho_1 \succeq \rho_2 \Rightarrow S(\rho_1) \geq S(\rho_2)$。

1.2 复合系统的量子态

在量子信息中，由多个子系统组成的物理系统 $S = S_1 + S_2 + \cdots + S_n$ 被称为多体系统。若每个子系统由希尔伯特空间 $H_i$ 描述，则系统 $S$ 的希尔伯特空间为 $H^{(n)} = \bigotimes_{i=1}^{n} H_i$，其可观测量是 $C^*$ 代数 $B(H^{(n)}) = \bigotimes_{i=1}^{n} B(H