17、量子力学中的重要定理与概念解析

量子力学中的重要定理与概念解析

1. 埃伦费斯特定理（Ehrenfest Theorem）

埃伦费斯特定理是量子力学中的一个重要定理，它建立了经典力学和量子力学变量之间的联系。在之前的推导中，我们得到了位置和动量期望值的运动方程，即埃伦费斯特定方程。而埃伦费斯特定理则是针对任意可观测量 (A) 的期望值对时间的导数。

我们从任意厄米算符 (\hat{A}) 的期望值的总时间导数开始推导：
[
\frac{d \langle \hat{A} \rangle}{dt} = \frac{d \langle \Psi | \hat{A} | \Psi \rangle}{dt} = \langle \Psi | \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} | \Psi \rangle + \frac{\partial \langle \Psi |}{\partial t} \hat{A} | \Psi \rangle + \langle \Psi | \hat{A} \frac{\partial | \Psi \rangle}{\partial t}
]
利用含时薛定谔方程（TDSE）及其复共轭，消除 (|\Psi\rangle) 和 (\langle \Psi |) 对时间的偏导数，得到：
[
\frac{d \langle \hat{A} \rangle}{dt} = \frac{i}{\hbar} \langle \Psi | [\hat{H}, \hat{A}] | \Psi \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \rangle
] <