13、有限自由度量子力学：希尔伯特空间、算子代数与C*代数

有限自由度量子力学：希尔伯特空间、算子代数与C*代数

1. 量子动力学系统概述

量子动力学系统可以通过可观测量的非交换代数、其时间演化以及为它们赋予平均值的期望泛函来描述。与之对比，经典动力学系统通常可以用相点和相轨迹来描述，但代数形式同样可行，且具有两个显著优势：一方面，能更清晰地展现与量子动力学系统的异同；另一方面，可从经典概念的代数重构中推断如何将其扩展到量子环境。在信息方面，从交换环境过渡到非交换环境时，测量过程对量子系统造成的干扰通常不可忽略，即便在理论上也是如此。

2. 希尔伯特空间与算子代数

2.1 基本符号与事实

• 向量与投影算子 ：在标准量子力学中，物理状态通常由可分希尔伯特空间中的归一化向量表示，可观测量则由作用于这些向量的自伴线性算子表示。用 $| ψ ⟩$、$| φ ⟩$ 或 $ψ$、$φ$ 以及 $| i ⟩$（$i$ 属于合适的指标集 $I$）表示希尔伯特空间 $H$ 中的（归一化）向量，$P_ψ = | ψ ⟩⟨ψ |$ 表示相关的正交投影算子。
• 标量积与柯西 - 施瓦茨不等式 ：$H$ 上的标量积记为 $⟨ψ | φ ⟩$，它在第二个参数上是线性的，在第一个参数上是反线性的，满足柯西 - 施瓦茨不等式 $|⟨ψ | φ ⟩| ≤∥ψ∥∥φ∥$。
• 正交基与投影算子 ：任何有限或可数集 ${Ψ_i} {i∈I} ⊂H$，若满足 $⟨Ψ_i | Ψ_j ⟩= δ {ij}$ 且对于所有 $ψ ∈H$ 有 $| ψ ⟩= \sum_{i