15、有限自由度量子力学与冯·诺依曼代数相关理论

有限自由度量子力学与冯·诺依曼代数相关理论

1. 复合系统的线性映射与条件期望

在复合系统 (A + B) 中，矩阵代数为 (M_{n_a}(\mathbb{C})\otimes M_{n_b}(\mathbb{C}))。我们可以定义一个线性映射 (E)，它从 (M_{n_a}(\mathbb{C})\otimes M_{n_b}(\mathbb{C})) 到子代数 (1!!1_A \otimes M_{n_b}(\mathbb{C}))。具体定义如下：
对于所有 (X_A \in M_{n_a}(\mathbb{C})) 和 (X_B \in M_{n_b}(\mathbb{C}))，(E[X_A \otimes X_B] := \text{Tr} A(X_A) \otimes X_B)，然后通过线性和连续性将其扩展到整个 (M {n_a}(\mathbb{C}) \otimes M_{n_b}(\mathbb{C}))。

任何 (0 \leq X \in M_{n_a}(\mathbb{C}) \otimes M_{n_b}(\mathbb{C})) 都可以写成 (\sum_{i}(X^i_A)^{\dagger} X^j_A \otimes E^{B} {ij}) 的形式，其中 ({E^{B} {ij}} {n_b}^{i,j=1}) 是 (M {n_b}(\mathbb{C})) 中的一组矩阵单位。由此可以验证 (E) 是一个正线性映射，并且 (E[1!!1_{A+B}] = 1!!1_{A+B})，所以 (E) 是幺正的。此外，对于任何 (X \in M_{n_a}(\mathbb{C}) \otimes M_{n