隐函数的求导

今天上物理课时偶然想到了隐函数求导的严谨证明,那么就记一下吧。


首先,如果我们要对一个隐函数求导,我们首先需要证明这个隐函数连续可微

以及,由于我太菜了,所以本文的隐函数只对于二维的隐函数进行了讨论

对于一个二维隐函数***Implicit Function*** f(x,y)f(x,y)f(x,y),若对于此函数上的任意一点A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1,y1),都有隐函数上的另一点 B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2,y2) 使得对于任意正数 δ&gt;0\delta&gt;0δ>0 ,都有 ∣x1−x2∣&lt;δ\vert x_1-x_2 \vert&lt;\deltax1x2<δ∣y1−y2∣&lt;δ\vert y_1-y_2 \vert&lt;\deltay1y2<δ,那么我们说这个隐函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 是连续可微的。

——XsJIONG的胡乱定义

那么有了这个定义,我们就可以进入正题了。

推导

我们假设有这样一个函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) ,其对应的隐函数为
f(x,y)=C f(x,y)=C f(x,y)=C
其中 CCC 为任意常数

那么我们该如何得到它的导数呢?我们先来回顾一下导数的定义:
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx f&#x27;(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f(x)=Δx0limΔxf(x+Δx)f(x)

f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx f&#x27;(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} f(x)=Δ

### 隐函数求导方法概述 隐函数是指由方程 \( F(x, y) = 0 \) 定义的关系,其中 \( y \) 并未显式表示为 \( x \) 的函数。尽管如此,仍然可以通过隐函数求导的方法计算 \( y \) 关于 \( x \) 的导数。 #### 基本原理 假设 \( F(x, y) = 0 \) 定义了一个隐函数 \( y = f(x) \),则可以利用偏导数的概念推导出 \( y' \)[^1]: \[ y' = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} \] 这表明,在给定的隐函数中,\( y' \) 可以通过分别对 \( F(x, y) \) 中的 \( x \) 和 \( y \) 进行偏导数运算得出[^2]。 --- ### 示例分析 考虑隐函数 \( x^2 + y^2 = 1 \): 1. 将该方程视为 \( F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 \)。 2. 计算 \( F_x \) 和 \( F_y \): \[ F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x,\quad F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 2y \] 3. 利用公式 \( y' = -\frac{F_x}{F_y} \) 得到: \[ y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y} \][^3] 因此,对于任意满足 \( x^2 + y^2 = 1 \) 的点 \( (x, y) \),都可以通过上述公式计算对应的导数值。 --- ### Python 实现代码示例 以下是基于 SymPy 库实现隐函数求导的一个简单例子: ```python from sympy import symbols, diff, Function # 定义符号 x, y = symbols('x y') y = Function('y')(x) # 给定隐函数 F(x, y) F = x**2 + y**2 - 1 # 对 x 求全导数 dy_dx = -diff(F, x) / diff(F, y) print(dy_dx.simplify()) ``` 运行此代码会输出结果 `-x/y`,验证了前面的手动推导过程。 --- ### 注意事项 当应用隐函数求导时需要注意以下几点: - 方程需定义有效的隐函数关系; - 导数仅在 \( F_y \neq 0 \) 处有效; - 特殊情况可能需要进一步讨论,例如分母为零的情况。 ---
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