今天上物理课时偶然想到了隐函数求导的严谨证明,那么就记一下吧。
首先,如果我们要对一个隐函数求导,我们首先需要证明这个隐函数连续可微
以及,由于我太菜了,所以本文的隐函数只对于二维的隐函数进行了讨论
对于一个二维隐函数***Implicit Function*** f(x,y)f(x,y)f(x,y),若对于此函数上的任意一点A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1,y1),都有隐函数上的另一点 B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2,y2) 使得对于任意正数 δ>0\delta>0δ>0 ,都有 ∣x1−x2∣<δ\vert x_1-x_2 \vert<\delta∣x1−x2∣<δ 且 ∣y1−y2∣<δ\vert y_1-y_2 \vert<\delta∣y1−y2∣<δ,那么我们说这个隐函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 是连续可微的。
——XsJIONG的胡乱定义
那么有了这个定义,我们就可以进入正题了。
推导
我们假设有这样一个函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) ,其对应的隐函数为
f(x,y)=C f(x,y)=C f(x,y)=C
其中 CCC 为任意常数
那么我们该如何得到它的导数呢?我们先来回顾一下导数的定义:
f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)
即
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} f′(x)=Δ