隐函数的求导

今天上物理课时偶然想到了隐函数求导的严谨证明，那么就记一下吧。

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首先，如果我们要对一个隐函数求导，我们首先需要证明这个隐函数连续可微

以及，由于我太菜了，所以本文的隐函数只对于二维的隐函数进行了讨论

对于一个二维隐函数***Implicit Function*** $f(x,y)$，若对于此函数上的任意一点$A(x_1,y_1)$，都有隐函数上的另一点 $B(x_2,y_2)$ 使得对于任意正数 $\delta >0$ ，都有 $|x_1-x_2|<\delta$ 且 $|y_1-y_2|<\delta$，那么我们说这个隐函数 $f(x,y)$ 是连续可微的。

——XsJIONG的胡乱定义

那么有了这个定义，我们就可以进入正题了。

推导

我们假设有这样一个函数 $f(x,y)$ ，其对应的隐函数为
$$f(x,y)=C$$
其中 $C$ 为任意常数

那么我们该如何得到它的导数呢？我们先来回顾一下导数的定义：
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
即
$$f^{\prime }(x)=\Delta$$