3.9 流水作业调度问题

 

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 1.我对流水调度问题的理解

流水作业调度问题是动态规划中的一个经典问题，它涉及将一系列作业分配给多个工作站以最小化总完成时间。该问题的目标是确定作业的最优调度顺序，以使得所有作业的完成时间最小。

下面是该问题的一般描述和解决步骤：

1. 问题描述：
   - 给定n个作业和m个工作站，每个作业有一个处理时间(ti)和一个工作站的要求（wj）。
   - 每个工作站一次只能处理一个作业，且每个作业只能分配给一个工作站。
   - 每个工作站在完成作业后会空闲，可以接受下一个作业。

2. 动态规划解决步骤：
   - 定义状态：首先定义问题的状态。可以使用一个二维数组dp[i][j]表示前i个作业分配给j个工作站时的最小完成时间。
   - 状态转移方程：根据最优子结构性质，可以推导出状态转移方程，即递推关系，来计算dp[i][j]。
   - 边界条件：确定边界条件，如dp[0][j]和dp[i][0]的初始值。
   - 递推计算：利用状态转移方程和边界条件，通过递推计算填充整个dp数组。
   - 最优解的构造：根据dp数组中的最优值，逆向追溯得到最优解的调度顺序。

3. 时间复杂度：
   - 动态规划算法的时间复杂度为O(nm)，其中n是作业的数量，m是工作站的数量。

在流水作业调度问题中，关键是确定合适的状态定义和状态转移方程，以及正确处理边界条件。同时，根据实际情况，可能需要考虑其他约束条件，如工作站的容量限制或作业之间的关联关系等。因此，在解决流水作业调度问题时，需要综合考虑问题的特点和约束条件，设计合理的动态规划算法来求解最优调度方案。

 

 1.最优子结构性质的证明：

要证明流水作业调度问题具有最优子结构性质，需要证明以下两个条件：

1. 最优子结构性质：如果一个问题的最优解包含了子问题的最优解，那么该问题具有最优子结构性质。

2. 子问题的最优解可以用来构造原问题的最优解。

下面是对流水作业调度问题的最优子结构性质的证明：

假设存在一个最优解J，它包含了作业序列J1, J2, ..., Jn的最优调度方案。我们将J分成两个部分，J1, J2, ..., Jk和Jk+1, Jk+2, ..., Jn，其中1 ≤ k ≤ n-1。

现在考虑子问题，即将J1, J2, ..., Jk和Jk+1, Jk+2, ..., Jn分别调度在两个不同的流水线上。假设存在另一个调度方案J'，它的完成时间小于J的完成时间。

由于J'是一个最优解，那么J'中的子序列J1, J2, ..., Jk和Jk+1, Jk+2, ..., Jn的调度方案也必须是最优的。否则，我们可以通过替换J'中的这两个子序列的调度方案，得到一个更优的调度方案。

根据最优子结构的定义，我们可以使用子问题的最优解来构造原问题的最优解。假设我们知道了子问题J1, J2, ..., Jk和Jk+1, Jk+2, ..., Jn的最优调度方案。我们可以将两个子问题的调度方案合并，形成一个新的调度方案，即将J1, J2, ..., Jk的调度安排在第一个流水线上，将Jk+1, Jk+2, ..., Jn的调度安排在第二个流水线上。这样，我们就得到了原问题J的最优调度方案。

综上所述，流水作业调度问题具有最优子结构性质。这意味着我们可以通过解决子问题的最优解来构造原问题的最优解。这是使用动态规划等方法求解流水作业调度问题的关键性质。

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2023/10/14重新证明：

要证明流水作业调度问题具有最优子结构性质，我们需要证明问题的最优解包含其子问题的最优解。

流水作业调度问题是要在两台机器上安排n个作业，以最小化完成所有作业的总时间。设我们已经得到了一个最优的调度π，即使得作业π(1), π(2), ..., π(n)是一个最优的顺序。

考虑去掉其中一个作业j，那么剩下的作业的顺序π(1), π(2), ..., π(j-1), π(j+1), ..., π(n)形成了一个子问题。

**我们需要证明以下两点**：
1. 这个子问题的解就是π(1), π(2), ..., π(j-1), π(j+1), ..., π(n)。
2. 如果π是最优解，则这个子问题的解也是最优的。

**证明**：
1. 假设子问题的一个最优解是π'(1), π'(2), ..., π'(n-1)且与π(1), π(2), ..., π(j-1), π(j+1), ..., π(n)不同。
2. 基于π'(1), π'(2), ..., π'(n-1)的调度顺序，我们可以为原始问题构造一个新的调度方式，即在适当的位置插入作业j，得到π''。
3. 如果π'(1), π'(2), ..., π'(n-1)比π(1), π(2), ..., π(j-1), π(j+1), ..., π(n)更好（完成时间更短），那么π''一定比π更好。
4. 但这与我们的假设相矛盾，即π是最优解。
5. 因此，我们得出结论，子问题的最优解确实是π(1), π(2), ..., π(j-1), π(j+1), ..., π(n)。

由以上论证，我们可以得出，流水作业调度问题的最优解包含其子问题的最优解，从而具有最优子结构性质。