线性代数之线性方程组

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数学习考研矩阵

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本文详细阐述了线性方程组的解法，包括齐次线性方程组的解向量、基础解系、非齐次线性方程组的克拉默法则和解的结构，以及含参数方程组的求解技巧。同时讨论了两个方程组的公共解与同解问题，涉及抽象型方程组的解的判定和结构。

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一、具体型方程组

1. 解线性方程组

1.1 齐次线性方程组

1.1.1 解向量及其性质

1.1.2基础解系

1.1.3齐次线性方程组有非零解的充要条件及通解

1.2 非齐次线性方程组

1.2.1克拉默法则

1.2.2几个相关说法的等价性

1.2.3非齐次线性方程组有解的充要条件：

1.2.3非齐次线性方程组解的结构（齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解）

2. 解含参数的线性方程组

3. 关于两个方程组的公共解与同解的问题

3.1 求两个方程组的公共解

3.2同解方程组

二、抽象型方程组

1.解的判定

2.解的结构（见上“具体型齐次与非齐次方程组的解”）

总结

一、具体型方程组

1. 解线性方程组

1.1 齐次线性方程组

1.1.1 解向量及其性质

（1） $\xi _{1},\xi _{2}$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $\xi _{1}+\xi _{2}$ 也是它的解。

（2） $\xi$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $k\xi$ $(k\in R)$ 也是它的解。

【解释】：由（1）有 $A\xi _{1}=0,A\xi _{2}=0$ ,相加可得： $A(\xi _{1}+\xi _{2})=0$ ;对于（2）也同理。

1.1.2基础解系

（1）是解；

（2）线性无关；

（3） $s=n-r(A)$ ；【s为方程组解的个数，n为矩阵A的阶数】

1.1.3齐次线性方程组有非零解的充要条件及通解

（1）充要条件： $r(A)<n$ ；

（2）通解： $x=k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}+...+k_{n-r}\xi _{n-r}$ 【其中 $k_{1},k_{2},...,k_{n-r}$ 为任意常数】

1.2 非齐次线性方程组

1.2.1克拉默法则

即当 $|A|\neq 0$ 时， $Ax=b$ 有唯一解。

解释如下：

若线性方程组：

其系数矩阵为：

，则该方程组有唯一解

$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},...,x_{j}=\frac{D_{j}}{D},...,x_{n}=\frac{D_{n}}{D}$ 其中 $D_{j}(j=1,2,...,n)$ 是D中第j列元素换成 $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ 所构成的行列式，即 $(j=1,2,...,n)$

【特别的】：当 $b_{i}=0(i=1,2,...,n)$ 时，如果 $D\neq 0$ ,则方程组只有零解 $x_{i}=0(i=1,2,...,n)$ ，

反之，当 $b_{i}=0(i=1,2,...,n)$ 时，如果方程组有非零解，则 $D=0$ .

1.2.2几个相关说法的等价性

（1） $Ax=b$ 有解；

（2）向量 $b$ 能由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 线性表示；

（3）向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 与 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},b$ 等价；

（4） $Ax=b$ 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等；

1.2.3非齐次线性方程组有解的充要条件： $r(A)=r([A,b])$

1.2.3非齐次线性方程组解的结构（齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解）

（1）非齐次线性方程组解的形式： $x=\eta ^{*}+k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}+...+k_{n-r}\xi _{n-r}$

（2）性质： $\eta _{1},\eta _{2}$ 是 $Ax=b$ 的解，则 $\eta _{1}-\eta _{2}$ 是 $Ax=0$ 的解。

2. 解含参数的线性方程组

方法一：将系数矩阵（齐次方程组）或增广矩阵（非齐次方程组）先用初等行变换为阶梯型，在用方程组理论判别，求解。

方法二："方形"（方程个数=未知数个数）的方程组

（1）： $|A|\neq 0\Leftrightarrow$ 方程组有唯一解 $\Leftrightarrow$ $\lambda$ 不是 $f(\lambda )$ 的零点；

（2）： $|A|=0\Leftrightarrow$ $\lambda$ 是 $f(\lambda )$ 的零点；

3. 关于两个方程组的公共解与同解的问题

3.1 求两个方程组的公共解

方法一：联立求解 $\left.\left[\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right.\right]x=0$ ;

方法二：求出 $A_{m\times n}x=0$ 的通解 $k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}+...+k_{s}\xi _{s}$ ，带入 $B_{m\times n}x=0$ 求出 $k_{i}$ 之间的关系，带回 $A_{m\times n}x=0$ 的通解；

方法三：给出 $A_{m\times n}x=0$ 的基础解系 $\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{s}$ ，与 $B_{m\times n}x=0$ 的基础解系 $\eta _{1}+\eta _{2}+...+\eta _{s}$ ，则公共解： $\gamma =k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}+...+k_{s}\xi _{s}=l_{1}\eta _{1}+l_{2}\eta _{2}+...+l_{t}\eta _{t}$

3.2同解方程组

$Ax=0,Bx=0$ 是同解方程组的充要条件是：

（1） $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ ，且 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$ ；

（2） $r(A)=r(B)$ ，且 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ ；

（3） $r(A)=r(B)=r(\left.\left[\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right.\right])$

二、抽象型方程组

1.解的判定

（1）： $Ax=0$ 总有解，至少有零解；

（2）： $A_{m\times n}x=0$

当 $r(A)=n$ 时，只有零解；

当 $r(A)< n$ 时，有无穷多解；

（3）： $A_{m\times n}x=b$

当 $r(A)\neq r([A,b])$ 时，无解；

当 $r(A)=r([A,b])=n$ 时，有唯一解；

当 $r(A)= r([A,b])=r< n$ 时，有无穷多解；

【注】常考如下这些结论：

（1）若 $Ax=0$ 只有零解，则 $r(A)=n$ （列满秩）推不出 $r([A,b])=n$ ,故 $Ax=b$ 可能有解，可能无解；

（2）若 $Ax=0$ 有无穷多解（有非零解），则 $r(A)<n$ （列不满秩）推不出 $r(A)=r([A,b])$ ,故 $Ax=b$ 可能有解，可能无解；

（3）若 $Ax=b$ 有唯一解，则 $r(A)=r([A,b])=A$ 的列数，故 $Ax=0$ 只有零解；

（4）若 $Ax=b$ 有无穷多解，则 $r(A)=r([A,b])<A$ 的列数，故 $Ax=0$ 有非零解；

由（1）（2）可知，（3）（4）不可倒推