例2.6 Hanoi塔问题。

上述算法简捷明确，可以证明它是正确的。但只看算法的计算步骤，很难理解它的道理，

也很难理解它的设计思想。下面用递归技术来解洪这个问题。当1-1 时，问题比较简单。此

时，只要将编号为 1的圆盘从塔座。 直接移至塔座力上即可。当n1 时，需要利用塔座c作

为辅助塔座。此时要设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座（上，然后将

剩下的最大圆盘从塔座a移至塔座6上，最后设法将1-1 个较小的圆盘依照移动规则从塔座

e移至塔座6上。由此可见，n个圆盘的移动问题就可分解为两次1-1 个圆盘的移动问题，

这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hlanoi 塔问题的递归算法如下：

void hanoi(int n, int a, int b, int c) {

if (n>0) {

hanoi(n-1, a, c, b);

move(a, b);

hanoi(n-1, c, b, a);

V

其中，hanoi(n，a， b，c)表示将塔座a 上自下而上，由大到小叠放在一起的 n个圆盘依移动规

则移至塔座6上并仍按同样顺序叠放。在移动过程中，以塔座（作为辅助塔座。move(a, b)

表示将塔座a 上编号为口的圆盘移至塔座6上。

算法 hanoi 以递归形式给出，每个圆盘的具体移动方式并不清楚，因此很难用手工移动

来模拟这个算法。然而，这个算法易于理解，也容易证明其正确性，且易于掌握其设计思想。

像hanoi这样的递归算法，在执行时需要多次调用自身。实现这种递归调用的关键是为

算法建立递归调用工作栈。通常，在

一个算法中调用另一算法时，系统需在运行被调用算法

之前先完成三件事：① 将所有实参指针、返回地址等信息传递给被调用算法：② 为被调用

算法的局部变量分配存储区；③ 将控制转移到被调用算法的入口。

在从被调用算法返回调用算法时，系统相应地要完成三件事：① 保存被调用算法的计

算结果：② 释放分配给被调用算法的数据区：③ 依照被调用算法保存的返回地址将控制转

移到调用算法。

当有多个算法构成嵌套调用时，按照“后调用先返回”的原则进行。上述算法之间的信

息传递和控制转移必须通过栈来实现，即系统将整个程序运行时所需的数据空间安排在一个

栈中，每调用一个算法，就为它在栈顶分配

一个存储区，每退出一个算法，就释放它在栈顶

的存储区。当前正在运行的算法的数据

一定在栈顶。

递归算法的实现类似于多个算法的嵌套调用，只是调用算法和被调用算法是同一个算

法。因此，与每次调用相关的一个重要概念是递归算法的调用层次。若调用一个递归算法的

主算法为第。层算法，则从主算法调用递归算法为进入第1层调用；从第i层递归调用本算

法为进入第 计1层调用。反之，退出第i层递归调用，则返回至第之-1层调用。为了保证递

归调用正确执行，系统要建立一个递归调用工作栈，为各层次的调用分配数据存储区。每层

递归调用所需的信息构成

一个工作记录，其中包括所有实参指针、所有局部变量以及返回上

一层的地址。每进入一层递归调用，就产生

一个新的工作记录压入栈顶。每退出一层递归调

用，就从栈顶弹出一个工作记录。

图 22足实现算法;递归调用的栈使用情况示意，其中TOP 是指向栈顶的指针。由于递

归算法结构消晰，可读性强，且容易用数学归纳法证明算法的正确性，因此它为设计算法

调试程序带米很大方便。然而，递归箄法的运行效瓷

主算法栈块

我低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都

比非遊归算法要至。若在程序中消除算法的递归调

用，则其运行时问可大为节省。因此，有时希望在递

主算法调用逆归算法 A 的栈块

第法^ 的第1层逆归调用工作记录

算法A 的第2层逆归调用工作记录

TOP

归算法中消除遊归调用，使其转化为一个非递归算

法。通常，消除递归采用一个用户定义的栈米模拟系

统的递归调用工作栈，从而达到将遊归算法改为非递

归算法的目的。仅仅是机械地模拟还不能达到缩短计

算时间和减小存储空间的目的，还需要根据具体程序

图 2-2

递归调用工作栈示意

的特点对递归调用工作栈进行简化，尽量减少栈操

作，压缩栈存储空间以达到节省计算时间和存储空问的目的。

反思：

说实在根本要我自己想我第一次肯定想不出来。a

学到了什么:

简化的思想，对于复杂的问题我们可以通过分析其特殊情况来得到自己想要的