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RSS订阅转载 第50届IMO预选题
已知正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足 ab+bc+ca≤3abcab+bc+ca\leq3abcab+bc+ca≤3abc. 证明:a2+b2a+b+b2+c2b+c+c2+a2c+a+3≤2(a+b+b+c+c+a).\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3...
2019-02-15 10:42:12
1219
转载 2009,马其顿数学奥林匹克
设正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足 ab+bc+ca=13.ab+bc+ca=\frac13.ab+bc+ca=31. 证明：aa2−bc+1+bb2−ac+1+cc2−ab+1≥1a+b+c\frac a{a^2-bc+1}+\frac b{b^2-ac+1}+\frac c{c^2-ab+1}\geq\frac1{a+b+c}a2−bc+1a+b2−ac+1b+c2−ab...
2019-02-14 23:19:14
248
转载 2008,印度国家队选拔考试
设正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足 a2+b2+c2&lt;2(a+b+c).a^2+b^2+c^2&lt;2(a+b+c).a2+b2+c2<2(a+b+c). 证明：3abc&lt;4(a+b+c)3abc&lt;4(a+b+c)3abc<4(a+b+c)证法1\qquad由柯西不等式知 (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)...
2019-02-14 22:54:02
266
转载 第52届IMO预选题
\qquad设正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足\qquadmin{a+b,b+c,c+a}&gt;2，a2+b2+c2=3\min\{a+b,b+c,c+a\}&gt;\sqrt2，a^2+b^2+c^2=3min{a+b,b+c,c+a}>2，a2+b2+c2=3.证明：a(b+c−a)2+b(c+a−b)2+c(a+b−c)2≥3(abc)2.\fr...
2019-02-14 22:13:56
922
转载 第44届加拿大数学奥林匹克
\qquad已知 x、y、zx、y、zx、y、z 为正实数，证明：x2+xy2+xyz2≥4xyz−4.x^2+xy^2+xyz^2\geq4xyz-4.x2+xy2+xyz2≥4xyz−4.\qquad证明\qquad注意到，\qquad (x−2)2≥0⇒x2≥4x−4,(x-2)^2\geq0\Rightarrow x^2\geq4x-4,(x−2)2≥0⇒x2≥4x−4,\qq...
2019-02-14 20:54:37
295
2
转载 2011,第 19届土耳其数学奥林匹克
\qquad若正实数 x、y、zx、y、zx、y、z 满足 xyz=1xyz=1xyz=1, 证明：1x+y20+z11+1y+z20+x11+1z+x20+y11≤1.\frac1{x+y^{20}+z^{11}}+\frac1{y+z^{20}+x^{11}}+\frac1{z+x^{20}+y^{11}}\leq1.x+y20+z111+y+z20+x111+z+x20+y111≤...
2019-02-14 20:31:07
292
转载 2012，土耳其国家队选拔考试
已知正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足 ab+bc+ca≤1ab+bc+ca\leq1ab+bc+ca≤1. 证明：a+b+c+3≥8abc(1a2+1)(1b2+1)(1c2+1).a+b+c+\sqrt3\geq8abc(\frac1{a^2+1})(\frac1{b^2+1})(\frac1{c^2+1}).a+b+c+3≥8abc(a2+11)(b2+11)(c2+11...
2019-02-14 19:53:06
278
转载 2002-2003，匈牙利数学奥林匹克第二轮
已知非负实数 x、y、zx、y、zx、y、z 满足 x2+y2+z2+2y+3z=134.x^2+y^2+z^2+2y+3z=\frac{13}4.x2+y2+z2+2y+3z=413.(1)求 x+y+zx+y+zx+y+z 的最大值；(2)证明： x+y+z≥22−32x+y+z\geq\frac{\sqrt{22}-3}2x+y+z≥222−3(i)解\qquad由已知等式得 ...
2019-02-14 18:34:09
305
转载 2002-2003，第20届伊朗数学奥林匹克第二轮
已知 a、b、ca、b、ca、b、c 为正实数，满足 a2+b2+c2+abc=4.a^2+b^2+c^2+abc=4.a2+b2+c2+abc=4.证明：a+b+c≤3.a+b+c\leq3.a+b+c≤3.\qquad证明\qquad显然，a、b、ca、b、ca、b、c 在区间 [0,2][0,2][0,2] 上.\qquad设 a=2cosα,b=2cosβ(α、β∈[0,π...
2019-02-14 17:42:27
590
转载 2003，第15届亚太地区数学奥林匹克
设 a、b、ca、b、ca、b、c 是某三角形得三条边的边长，且 a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1 .若整数 n≥2，n\geq2，n≥2， 证明：an+bnn+bn+cnn+cn+ann&lt;1+2n2.\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}&lt;1+\frac{\sqrt[n]2}2.nan+...
2019-02-14 15:37:17
269
转载 2003，第7届巴尔干地区数学奥林匹克
设 x、y、zx、y、zx、y、z 为大于 −1-1−1 的实数.证明：1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y2≥2.\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq2.1+y+z21+x2+1+z+x21+y2+1+x+y21+z2≥2.\qquad证明\quad由已知...
2019-02-14 00:08:03
245
转载 2003，第32届美国数学奥林匹克
已知 a、b、ca、b、ca、b、c 为正实数.证明：(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤8\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq82a2+(b+c)2...
2019-02-12 12:23:13
428
转载 2014年全国联赛预赛-15
\qquad给定 201420142014 个和为 111 的非负实数 a1,a2,⋯&ThinSpace;,a2014a_1,a_2,\cdots,a_{2014}a1,a2,⋯,a2014. 证明：存在 a1,a2,⋯&ThinSpace;,a2014a_1,a_2,\cdots,a_{2014}a1,a2,⋯,a2014 的一个排列 x1,x2,⋯&Thi...
2019-02-11 20:36:07
172
转载 中等数学-2015-2-解析几何中的最值问题-6
\qquad过椭圆 x2a2+y2b2=1(a&gt;b&gt;0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a&gt;b&gt;0)a2x2+b2y2=1(a>b>0) 的右焦点 FFF 作两条垂直的弦 AB、CD.AB、CD.AB、CD. 设 AB、CDAB、CDAB、CD 的中点分别为 M、NM、NM、N.\qqua...
2019-02-11 00:37:25
622
转载 中等数学-2015-2-利用数论知识解数学竞赛题-例1
设 α、β(1&lt;α&lt;β)\alpha 、\beta (1&lt;\alpha&lt;\beta)α、β(1<α<β) 为实数.求具有下述性质的最大正整数 rrr ：将每个正整数任意染上 rrr 种颜色之一，则总存在两个同色的正整数 x、yx、yx、y ，满足 α≤xy≤β\alpha\leq\frac xy\leq\betaα≤yx≤β....
2019-02-09 11:48:26
642
转载 中等数学——高412
已知 x、y、zx、y、zx、y、z 为正实数.证明：xyx2+y2+2z2+yz2x2+y2+z2+zxx2+2y2+z2≤34. \frac{xy}{x^2+y^2+2z^2}+\frac{yz}{2x^2+y^2+z^2}+\frac{zx}{x^2+2y^2+z^2}\leq\frac34.x2+y2+2z2xy+2x2+y2+z2yz+x2+2y2+z2zx≤43.证明：...
2019-02-08 15:49:15
260
转载 中等数学2015年增刊模拟题（20）——0
已知正奇数 nnn 满足n∣∑k=1nk2014 n\mid \sum_{k=1}^nk^{2014}n∣k=1∑nk2014证明：n2∣∑k=1nk2015 n^2\mid\sum_{k=1}^nk^{2015}n2∣k=1∑nk2015证：一般化，将2015改为不小于3的奇数 mmm.下面证明：若n∣∑k=1nkm−1 n\mid\sum_{k=1}^nk^{m-1...
2019-02-07 12:45:54
1240
转载 中等数学2015年第一期训练题（187）加试——2
求所有的素数 ppp ，使得p2∣∑k=1p−1k2p+1 p^2|\sum_{k=1}^{p-1}k^{2p+1}p2∣k=1∑p−1k2p+1&amp;nbsp;解：由于 22̸∣12^2 \not \mid 122̸∣1 , 故 p=2p=2p=2 不满足条件.以下设 ppp 为奇素数.对 k=1,2,⋯&amp;amp;ThinSpace;,p−12,k=1,2,\cdots,\fr...
2019-02-06 12:50:13
382
转载 2013，中国台湾数学奥林匹克训练营——0
求正整数数对 (x,y)(x,y)(x,y) ，满足 x&gt;yx&gt;yx>y 且(x−y)xy=xyyx. (x-y)^{xy}=x^yy^x.(x−y)xy=xyyx.(2013，中国台湾数学奥林匹克训练营)解法1：设(x,y)=d,x=dv,y=dt,(v,t)=1.(x,y)=d ,x=dv,y=dt,(v,t)=1.(x,y)=d,x=dv,y...
2019-02-06 01:42:19
430
转载 53届IMO预选题——0
求所有的三元正整数数组 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) , 使得x≤y≤zx\leq y\leq zx≤y≤z , 且x3(y3+z3)=2012(xyz+2)⋯① x^3(y^3+z^3)=2012(xyz+2) \cdots ①x3(y3+z3)=2012(xyz+2)⋯①(第53届IMO预选题)注意到，2012(xyz+2)=x3(y3+z3)≥x4(y2+z2)≥...
2019-02-05 16:33:04
718
原创 因式分解
分解因式(1). p2(a−1)+p(1−a)p^2(a-1)+p(1-a)p2(a−1)+p(1−a)= p2(a−1)−(a−1)p^2(a-1)-(a-1)p2(a−1)−(a−1)= p(a−1)(p−1)p(a-1)(p-1)p(a−1)(p−1)(2). (a2−a)2−14(a2−a)+24(a^2-a)^2-14(a^2-a)+24(a2−a)2−14(a2−a)+24...
2019-01-27 22:29:35
366
原创 BigInteger的一些基本用法
BigIntegerBigInteger 是java.math包中的一个类，今天通宵网吧无聊，就顺便看去看了以下，学习了以下基本用法，担心以后忘记可以回来看看。基本方法：import java.util.*;import java.math.*;public class main{ public static void main(String[] args){ Scanner i...
2019-01-22 04:47:03
1411
转载 Stirling公式
Stirling 公式1.阶乘n!=n(n−1)(n−2)⋯×3×2×1(n≥1) n! = n(n-1)(n-2)\cdots\times3\times2\times1\quad(n\geq1)n!=n(n−1)(n−2)⋯×3×2×1(n≥1)0！=1 0！= 10！=1Stirling公式n!≈2πn(ne)n n! \approx \sqrt{2\pi n}(\fr...
2019-01-21 22:43:38
10255
原创 逆序数与逆序字符串
逆序的三位数程序每次读入一个正3位数，然后输出按位逆序的数字。注意：当输入的数字含有结尾的0时，输出不应带有前导的0。比如输入700，输出应该是7。这个题目当然很简单，最开始我就直接用了取余直接算，而且还不会遇到坑：import java.util.Scanner;public class Main { public static void main(String[] args...
2019-01-17 13:12:15
450
空空如也
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