2003，第7届巴尔干地区数学奥林匹克

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本文探讨了关于实数x、y、z大于-1的条件下，特定表达式的不等式证明。通过应用柯西不等式，展示了该不等式在x=y=z=1时取等号的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $x 、 y 、 z$ 为大于 $- 1$ 的实数.证明：

$1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y2≥2.\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq2.$

$\qquad$ 证明 $\quad$ 由已知得

$1+x^2、1+y^2、1+z^2、1+y+z^2、1+z+x^2、1+x+y^2$

均大于 $0$ .
$\qquad$ 由柯西不等式得
$(1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z2z+x+y2)(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{z+x+y^2})$

$⋅[(1+x2)(1+y+z2)+(1+y2)(1+z+x2)+(1+z2)(1+x+y2)]\cdot[(1+x^2)(1+y+z^2)+(1+y^2)(1+z+x^2)+(1+z^2)(1+x+y^2)]$

$≥(1+x2+1+y2+1+z2)2.\geq(1+x^2+1+y^2+1+z^2)^2.$

$\qquad$ 故 $1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y2\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}$

$≥(x2+y2+z2+3)2(1+x2)(1+y+z2)+(1+y2)(1+z+x2)+(1+z2)(1+x+y2)\geq\frac{(x^2+y^2+z^2+3)^2}{(1+x^2)(1+y+z^2)+(1+y^2)(1+z+x^2)+(1+z^2)(1+x+y^2)}$

$=x4+y4+z4+9+2x2y2+2y2z2+2z2x2+6x2+6y2+6z2x2y2+y2z2+z2x2+2(x2+y2+z2)+x2y+y2z+z2x+x+y+z+3=\frac{x^4+y^4+z^4+9+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+6x^2+6y^2+6z^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(x^2+y^2+z^2)+x^2y+y^2z+z^2x+x+y+z+3}$

$=2+x4+y4+z4+3+2x2+2y2+2z2−2(x2y+y2z+z2x+x+y+z)x2y2+y2z2+z2x2+2(x2+y2+z2)+x2y+y2z+z2x+x+y+z+3=2+\frac{x^4+y^4+z^4+3+2x^2+2y^2+2z^2-2(x^2y+y^2z+z^2x+x+y+z)}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(x^2+y^2+z^2)+x^2y+y^2z+z^2x+x+y+z+3}$

$=2+(x2−y)2+(y2−z)2+(z2−x)2+(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2x2y2+y2z2+z2x2+2(x2+y2+z2)+x2y+y2z+z2x+x+y+z+3=2+\frac{(x^2-y)^2+(y^2-z)^2+(z^2-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(x^2+y^2+z^2)+x^2y+y^2z+z^2x+x+y+z+3}$