2009,马其顿数学奥林匹克

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本文探讨了正实数a、b、c满足特定条件下的不等式证明，利用柯西不等式展示了a、b、c组合的数学表达式的最小值。通过巧妙的代数变形和应用基本的数学原理，证明了给定不等式的正确性。

设正实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $ab+bc+ca=13.ab+bc+ca=\frac13.$ 证明：

$aa2−bc+1+bb2−ac+1+cc2−ab+1≥1a+b+c\frac a{a^2-bc+1}+\frac b{b^2-ac+1}+\frac c{c^2-ab+1}\geq\frac1{a+b+c}$

证明

$\qquad$ 等式右边的分母显然为正数.
$\qquad$ 由柯西不等式得
$\qquad$ $aa2−bc+1+bb2−ac+1+cc2−ab+1=a2a3−abc+a+b2b3−abc+b+c2c3−abc+c\frac a{a^2-bc+1}+\frac b{b^2-ac+1}+\frac c{c^2-ab+1}=\frac{a^2}{a^3-abc+a}+\frac{b^2}{b^3-abc+b}+\frac{c^2}{c^3-abc+c}$

$\qquad$ $≥(a+b+c)2a3+b3+c3+a+b+c−3abc=(a+b+c)2(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)+(a+b+c)\geq\frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+a+b+c-3abc}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(a+b+c)}$

$\qquad$ $=a+b+ca2+b2+c2−ab−bc−ca+1=a+b+ca2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1a+b+c.=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+1}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\frac1{a+b+c}.$