2011,第 19届土耳其数学奥林匹克

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本文探讨了正实数x、y、z满足xyz=1条件下的不等式证明，利用柯西不等式及Muirhead不等式，详细展示了证明过程，揭示了数学分析中的精妙技巧。

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$\qquad$ 若正实数 $x 、 y 、 z$ 满足 $x y z = 1$ , 证明：

$1x+y20+z11+1y+z20+x11+1z+x20+y11≤1.\frac1{x+y^{20}+z^{11}}+\frac1{y+z^{20}+x^{11}}+\frac1{z+x^{20}+y^{11}}\leq1.$

$\qquad$ 证明 $\qquad$ 由柯西不等式得 $1a+b20+c11≤a13+b−6+c3(a7+b7+c7)2(a、b、c∈R+).\frac1{a+b^{20}+c^{11}}\leq\frac{a^{13}+b^{-6}+c^3}{(a^7+b^7+c^7)^2} (a、b、c\in\R^+).$

$\qquad$ 当 $(a, b, c) = (x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)$ 时，求和得

$\qquad$ $1x+y20+z11+1y+z20+x11+1z+x20+y11\frac1{x+y^{20}+z^{11}}+\frac1{y+z^{20}+x^{11}}+\frac1{z+x^{20}+y^{11}}$

$\qquad$ $≤x13+y−6+z3(x7+y7+z7)2+y13+z−6+x3(x7+y7+z7)2+z13+x−6+y3(x7+y7+z7)2.\leq\frac{x^{13}+y^{-6}+z^3}{(x^7+y^7+z^7)^2}+\frac{y^{13}+z^{-6}+x^3}{(x^7+y^7+z^7)^2}+\frac{z^{13}+x^{-6}+y^3}{(x^7+y^7+z^7)^2}.$

$\qquad$ 因此，只需证

$\qquad$ $x^{13}+y^{13}+z^{13}+x^{-6}+y^{-6}+z^{-6}+x^3+y^3+z^3$

$\qquad$ $≤x14+y14+z14+2(x7y7+y7z7+z7x7).\leq x^{14}+y^{14}+z^{14}+2(x^7y^7+y^7z^7+z^7x^7).$

$\qquad$ 因为 $x y z = 1$ , 所以，

$\qquad$ $x13+y13+z13=∑x1313y13z13,x^{13}+y^{13}+z^{13}=\sum x^{13\frac13}y^{\frac13}z^{\frac13},$

$\qquad$ $x−6+y−6+z−6=∑x623y623z23x^{-6}+y^{-6}+z^{-6}=\sum x^{6\frac23}y^{6\frac23}z^{\frac23}$

$\qquad$ $x3+y3+z3=∑x623y323z323.x^3+y^3+z^3=\sum x^{6\frac23}y^{3\frac23}z^{3\frac23}.$

$\qquad$ 又 $(1313,13,13)<(14,0,0),(623,623,23)<(7,7,0),(623,323,323)<(7,7,0)(13\frac13,\frac13,\frac13)<(14,0,0),(6\frac23,6\frac23,\frac23)<(7,7,0),(6\frac23,3\frac23,3\frac23)<(7,7,0)$