2002-2003，第20届伊朗数学奥林匹克第二轮

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探讨了三个正实数a、b、c满足特定条件下的不等式a+b+c≤3。通过引入三角函数变换，证明了在a^2+b^2+c^2+abc=4条件下，a、b、c可以表示为特定角度的余弦值，进而利用余弦函数的性质证明了不等式的成立。

已知 $a 、 b 、 c$ 为正实数，满足 $a^2+b^2+c^2+abc=4.$
证明：

$a+b+c≤3.a+b+c\leq3.$

$\qquad$ 证明 $\qquad$ 显然， $a 、 b 、 c$ 在区间 $[0, 2]$ 上.

$\qquad$ 设 $a=2cos⁡α,b=2cos⁡β(α、β∈[0,π2]).a=2\cos\alpha,b=2\cos\beta(\alpha、\beta\in[0,\frac\pi2]).$

$\qquad$ 当 $c$ 为正数时， $a^2+b^2+c^2+abc$ 为增函数 . 因此，对任意的正实数 $a 、 b$ 至多有一个正实数 $c$ 满足

$a^2+b^2+c^2+abc=4.$

$\qquad$ 先证明： $c=2cos⁡(π−α−β)=−2cos⁡(α+β)c=2\cos (\pi-\alpha-\beta)=-2\cos(\alpha+\beta)$ 满足条件.

$\qquad$ 事实上，

$\qquad$ $cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2(α+β)−2cos⁡α⋅cos⁡β⋅cos⁡(α+β)\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)-2\cos\alpha\cdot\cos\beta\cdot\cos(\alpha+\beta)$

$\qquad$ $=cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2α⋅cos⁡2β+sin⁡2α⋅sin⁡2β−2cos⁡α⋅cos⁡β⋅sin⁡α⋅sin⁡β−2cos⁡2α⋅cos⁡2β+2cos⁡α⋅cos⁡β⋅sin⁡α⋅sin⁡β=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta+\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta-2\cos\alpha\cdot\cos\beta\cdot\sin\alpha\cdot\sin\beta-2\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta+2\cos\alpha\cdot\cos\beta\cdot\sin\alpha\cdot\sin\beta$

$=cos⁡2α+cos⁡2β−cos⁡2α⋅cos⁡2β+sin⁡2α⋅sin⁡2β=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta+\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta$

$=cos⁡2α⋅sin⁡2β+1−cos⁡2α⋅sin⁡2β=\cos^2\alpha\cdot\sin^2\beta+1-\cos^2\alpha\cdot\sin^2\beta$
$= 1$

$⇒a2+b2+c2+abc=4.\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc=4.$

若 $α+β>90∘\alpha+\beta>90^\circ$ ，则 $−2cos⁡(α+β)>0-2\cos(\alpha+\beta)>0$ 是 $c$ 满足条件的唯一值.

再证明：若 $α+β<90∘\alpha+\beta<90^\circ$ ,则不存在满足条件的 $c$ .

假设 $c_1、c_2$ 是 $c2+(acos⁡α⋅cos⁡β)c+4(cos⁡2α+cos⁡2β−1)=0c^2+(a\cos\alpha\cdot\cos\beta)c+4(\cos^2\alpha+\cos^2\beta-1)=0$ 的两个根.则

$c1+c2=−4cos⁡α⋅cos⁡β≤0,c1c2=4(cos⁡2α+cos⁡2β−1)>0.c_1+c_2=-4\cos\alpha\cdot\cos\beta\leq0,c_1c_2=4(\cos^2\alpha+\cos^2\beta-1)>0.$

所以， $c_1<0,c_2<0.$

故 $c$ 无解.因此， $a=2cos⁡α,b=2cos⁡β,c=2cos⁡γa=2\cos\alpha,b=2\cos\beta,c=2\cos\gamma$ ，

其中， $α、β、γ\alpha、\beta、\gamma$ 是一个锐角三角形的内角.

故 $a+b+c=2(cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ).a+b+c=2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma).$

注意到， $cos⁡x\cos x$ 在 $[0,π2][0,\dfrac\pi2]$ 上是上凸函数，所以，

$cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ≤3cos⁡(α+β+γ3)=32.\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leq3\cos(\frac{\alpha+\beta+\gamma}3)=\frac32.$