第50届IMO预选题

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已知正实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $ab+bc+ca≤3abcab+bc+ca\leq3abc$ . 证明:

$a2+b2a+b+b2+c2b+c+c2+a2c+a+3≤2(a+b+b+c+c+a).\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\leq\sqrt2(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}).$

证明
$\qquad$ 由幂平均不等式得
$\qquad$ $2⋅a+b=2aba+b⋅12(2+a2+b2ab)\sqrt2\cdot\sqrt{a+b}=2\sqrt{\frac{ab}{a+b}}\cdot\sqrt{\frac12(2+\frac{a^2+b^2}{ab})}$
$\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $\qquad$ $≥2aba+b⋅12(2+a2+b2ab)=2aba+b+a2+b2a+b.\geq2\sqrt{\frac{ab}{a+b}}\cdot\frac12(\sqrt2+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}})=\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}.$

$\qquad$ 同理， $2⋅b+c≥2bcb+c+b2+c2b+c,2⋅c+a≥2cac+a+b2+c2c+a\sqrt2\cdot\sqrt{b+c}\geq\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}},\sqrt2\cdot\sqrt{c+a}\geq\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{c+a}}$

$\qquad$ 再由算术平均和调和平均不等式得
$\qquad$ $2aba+b+2bcb+c+2cac+a≥33(a+b2ab)2+(b+c2bc)2+(c+a2ca)2=33abcab+bc+ca≥3.\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}\geq3\sqrt{\frac3{(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}})^2+(\sqrt{\frac{b+c}{2bc}})^2+(\sqrt{\frac{c+a}{2ca}})^2}}=3\sqrt{\frac{3abc}{ab+bc+ca}}\geq3.$