\qquad设正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足
\qquadmin{a+b,b+c,c+a}>2,a2+b2+c2=3\min\{a+b,b+c,c+a\}>\sqrt2,a^2+b^2+c^2=3min{a+b,b+c,c+a}>2,a2+b2+c2=3.证明:
a(b+c−a)2+b(c+a−b)2+c(a+b−c)2≥3(abc)2.\frac a{(b+c-a)^2}+\frac b{(c+a-b)^2}+\frac c{(a+b-c)^2}\geq\frac3{(abc)^2}.(b+c−a)2a+(c+a−b)2b+(a+b−c)2c≥(abc)23.
\qquad证明
\qquad记 ∑f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)∑f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b) 其中,“∑\sum∑”表示轮换对称和.
\qquad由 b+c>2⇒b2+c2>1⇒a2=3−(b2+c2)<2b+c>\sqrt2\Rightarrow b^2+c^2>1\Rightarrow a^2=3-(b^2+c^2)<2b+c>2⇒b2+c2>1⇒a2=3−(b2+c2)<2
\qquad⇒a<2<b+c⇒b+c−a>0.\Rightarrow a<\sqrt2<b+c\Rightarrow b+c-a>0.⇒a<2<b+c⇒b+c−a>0.
\qquad同理,c+a−b>0,a+b−c>0.c+a-b>0,a+b-c>0.c+a−b>0,a+b−c>0.
\qquad由幂平均不等式得 a5+b5+c5≥3.a^5+b^5+c^5\geq3.a5+b5+c5≥3.
\qquad不妨假设 a≥b≥c.a\geq b\geq c.a≥b≥c.
\qquad因此,只需证 ∑a3b2c2(b+c−a)2≥∑a5,\sum\frac{a^3b^2c^2}{(b+c-a)^2}\geq\sum a^5,∑(b+c−a)2a3b2c2≥∑a5,即
\qquad∑a3(b+c−a)2{(bc)2−[a(b+c−a)]2}≥0.⋯①\sum\frac{a^3}{(b+c-a)^2}\{(bc)^2-[a(b+c-a)]^2\}\geq0.\cdots①∑(b+c−a)2a3{(bc)2−[a(b+c−a)]2}≥0.⋯①
\qquad对于正数 x、y、zx、y、zx、y、z 由于
\qquad(yz)2−[x(y+z−x)]2(yz)^2-[x(y+z-x)]^2(yz)2−[x(y+z−x)]2与 yz−x(y+z−x)=(x−y)(x−z)yz-x(y+z-x)=(x-y)(x-z)yz−x(y+z−x)=(x−y)(x−z)的符号相同,则式①中关于 a、ca、ca、c 的项非负.
\qquad因此,只需证明关于 a、ba、ba、b 的项之和非负,即只需证
\qquada3(b+c−a)2(a−b)(a−c)[bc+a(b+c−a)]\frac{a^3}{(b+c-a)^2}(a-b)(a-c)[bc+a(b+c-a)](b+c−a)2a3(a−b)(a−c)[bc+a(b+c−a)]
\qquad≥b3(a+c−b)2(a−b)(b−c)[ac+b(a+c−b)].\geq\frac{b^3}{(a+c-b)^2}(a-b)(b-c)[ac+b(a+c-b)].≥(a+c−b)2b3(a−b)(b−c)[ac+b(a+c−b)].
\qquad因为 a3≥b3>0,0<b+c−a≤a+c−b,a−c≥b−c≥0,a^3\geq b^3>0,0<b+c-a\leq a+c-b,a-c\geq b-c\geq0,a3≥b3>0,0<b+c−a≤a+c−b,a−c≥b−c≥0,
\qquad所以只需证
\qquadab+ac+bc−a2b+c−a≥ab+ac+bc−b2c+a−b\frac{ab+ac+bc-a^2}{b+c-a}\geq\frac{ab+ac+bc-b^2}{c+a-b}b+c−aab+ac+bc−a2≥c+a−bab+ac+bc−b2
\qquad又 b+c−ab+c-ab+c−a 与 c+a−bc+a-bc+a−b 均为整数,于是只需证
(c+a−b)(ab+ac+bc−a2)≥(b+c−a)(an+bc+ca−b2),(c+a-b)(ab+ac+bc-a^2)\geq(b+c-a)(an+bc+ca-b^2),(c+a−b)(ab+ac+bc−a2)≥(b+c−a)(an+bc+ca−b2),
\qquad即 (a−b)(2ab−a2−b2+ac+bc)≥0.(a-b)(2ab-a^2-b^2+ac+bc)\geq0.(a−b)(2ab−a2−b2+ac+bc)≥0.
\qquad由于 a≥ba\geq ba≥b,则只需证明 c(a+b)≥(a−b)2.c(a+b)\geq(a-b)^2.c(a+b)≥(a−b)2.
\qquad结合 c>a−b≥0,a+b>a−b≥0,c>a-b\geq0,a+b>a-b\geq0,c>a−b≥0,a+b>a−b≥0,
\qquad知上述不等式成立.