第52届IMO预选题

最新推荐文章于 2024-07-26 21:31:14 发布

转载最新推荐文章于 2024-07-26 21:31:14 发布 · 1k 阅读

21 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一组复杂的数学不等式，通过巧妙的代数变换和应用不等式的性质，证明了特定条件下的一系列不等式关系。核心在于利用轮换对称和的概念，结合幂平均不等式和条件限制，最终得出目标不等式的正确性。

$\qquad$ 设正实数 $a 、 b 、 c$ 满足
$\qquad$ $min⁡{a+b,b+c,c+a}>2，a2+b2+c2=3\min\{a+b,b+c,c+a\}>\sqrt2，a^2+b^2+c^2=3$ .证明：

$a(b+c−a)2+b(c+a−b)2+c(a+b−c)2≥3(abc)2.\frac a{(b+c-a)^2}+\frac b{(c+a-b)^2}+\frac c{(a+b-c)^2}\geq\frac3{(abc)^2}.$

$\qquad$ 证明

$\qquad$ 记 $∑f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$ 其中，“ $∑\sum$ ”表示轮换对称和.

$\qquad$ 由 $b+c>2⇒b2+c2>1⇒a2=3−(b2+c2)<2b+c>\sqrt2\Rightarrow b^2+c^2>1\Rightarrow a^2=3-(b^2+c^2)<2$

$\qquad$ $⇒a<2<b+c⇒b+c−a>0.\Rightarrow a<\sqrt2<b+c\Rightarrow b+c-a>0.$

$\qquad$ 同理， $c + a - b > 0, a + b - c > 0 .$

$\qquad$ 由幂平均不等式得 $a5+b5+c5≥3.a^5+b^5+c^5\geq3.$

$\qquad$ 不妨假设 $a≥b≥c.a\geq b\geq c.$

$\qquad$ 因此，只需证 $∑a3b2c2(b+c−a)2≥∑a5,\sum\frac{a^3b^2c^2}{(b+c-a)^2}\geq\sum a^5,$ 即

$\qquad$ $∑a3(b+c−a)2{(bc)2−[a(b+c−a)]2}≥0.⋯①\sum\frac{a^3}{(b+c-a)^2}\{(bc)^2-[a(b+c-a)]^2\}\geq0.\cdots①$

$\qquad$ 对于正数 $x 、 y 、 z$ 由于

$\qquad$ $yz)^2-[x(y+z-x)]^2$ 与 $y z - x (y + z - x) = (x - y) (x - z)$ 的符号相同，则式①中关于 $a 、 c$ 的项非负.

$\qquad$ 因此，只需证明关于 $a 、 b$ 的项之和非负，即只需证

$\qquad$ $a3(b+c−a)2(a−b)(a−c)[bc+a(b+c−a)]\frac{a^3}{(b+c-a)^2}(a-b)(a-c)[bc+a(b+c-a)]$

$\qquad$ $≥b3(a+c−b)2(a−b)(b−c)[ac+b(a+c−b)].\geq\frac{b^3}{(a+c-b)^2}(a-b)(b-c)[ac+b(a+c-b)].$

$\qquad$ 因为 $a3≥b3>0,0<b+c−a≤a+c−b,a−c≥b−c≥0,a^3\geq b^3>0,0<b+c-a\leq a+c-b,a-c\geq b-c\geq0,$

$\qquad$ 所以只需证

$\qquad$ $ab+ac+bc−a2b+c−a≥ab+ac+bc−b2c+a−b\frac{ab+ac+bc-a^2}{b+c-a}\geq\frac{ab+ac+bc-b^2}{c+a-b}$

$\qquad$ 又 $b + c - a$ 与 $c + a - b$ 均为整数，于是只需证

$(c+a−b)(ab+ac+bc−a2)≥(b+c−a)(an+bc+ca−b2),(c+a-b)(ab+ac+bc-a^2)\geq(b+c-a)(an+bc+ca-b^2),$

$\qquad$ 即 $(a−b)(2ab−a2−b2+ac+bc)≥0.(a-b)(2ab-a^2-b^2+ac+bc)\geq0.$

$\qquad$ 由于 $a≥ba\geq b$ ，则只需证明 $c(a+b)≥(a−b)2.c(a+b)\geq(a-b)^2.$

$\qquad$ 结合 $c>a−b≥0,a+b>a−b≥0,c>a-b\geq0,a+b>a-b\geq0,$

$\qquad$ 知上述不等式成立.