本文探讨了正实数a、b、c满足特定条件下的不等式证明，利用柯西不等式和均值不等式，展示了两种证明方法，证明了3abc<4(a+b+c)的不等式。
设正实数 a、b、ca、b、ca、b、c 满足 a2+b2+c2<2(a+b+c).a^2+b^2+c^2<2(a+b+c).a2+b2+c2<2(a+b+c). 证明：
3abc<4(a+b+c)3abc<4(a+b+c)3abc<4(a+b+c)
证法1
\qquad由柯西不等式知 (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2).(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2).(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2).
\qquad于是，a+b+c<6a+b+c<6a+b+c<6，且有 (a+b+c)39<4(a+b+c)\dfrac{(a+b+c)^3}9<4(a+b+c)9(a+b+c)3<4(a+b+c)
\qquad由均值不等式得 (a+b+c)3≥27abc.(a+b+c)^3\geq27abc.(a+b+c)3≥27abc.
\qquad故 3abc≤(a+b+c)99<4(a+b+c)3abc\leq\dfrac{(a+b+c)^9}9<4(a+b+c)3abc≤9(a+b+c)9<4(a+b+c)
证法2\qquad
\qquad由证法111得 a+b+c<6a+b+c<6a+b+c<6. 于是，a2+b2+c2<2(a+b+c)<12.a^2+b^2+c^2<2(a+b+c)<12.a2+b2+c2<2(a+b+c)<12.
\qquad故 (a2+b2+c2)(a+b+c)<12(a+b+c).(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)<12(a+b+c).(a2+b2+c2)(a+b+c)<12(a+b+c).
\qquad由均值不等式得 a2+b2+c2≥3(abc)23,a+b+c≥3(abc)13.a^2+b^2+c^2\geq3(abc)^{\frac23},a+b+c\geq3(abc)^{\frac13}.a2+b2+c2≥3(abc)32,a+b+c≥3(abc)31.
\qquad故 9abc≤(a2+b2+c2)(a+b+c)<12(a+b+c).9abc\leq(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)<12(a+b+c).9abc≤(a2+b2+c2)(a+b+c)<12(a+b+c).
\qquad因此，结论成立
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