2012,土耳其国家队选拔考试

本文探讨了正实数a、b、c满足ab+bc+ca≤1条件下的一系列不等式推导,利用均值不等式和柯西不等式,证明了a+b+c+√3≥8abc/(1a^2+1)(1b^2+1)(1c^2+1)的不等式成立。

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已知正实数 a、b、ca、b、cabc 满足 ab+bc+ca≤1ab+bc+ca\leq1ab+bc+ca1. 证明:

a+b+c+3≥8abc(1a2+1)(1b2+1)(1c2+1).a+b+c+\sqrt3\geq8abc(\frac1{a^2+1})(\frac1{b^2+1})(\frac1{c^2+1}).a+b+c+38abc(a2+11)(b2+11)(c2+11).

\qquad证明\qquad由均值不等式得

\qquad a2+1≥a2+ab+bc+ca≥4a2⋅ab⋅bc⋅ca4=4abc.a^2+1\geq a^2+ab+bc+ca\geq4\sqrt[4]{a^2\cdot ab\cdot bc\cdot ca}=4a\sqrt{bc}.a2+1a2+ab+bc+ca44a2abbcca=4abc.

\qquad于是, 2bc≥8abca2+12\sqrt{bc}\geq\frac{8abc}{a^2+1}2bca2+18abc

\qquad同理,2ca≥8abcb2+1,2ab≥8abcc2+12\sqrt{ca}\geq\frac{8abc}{b^2+1},2\sqrt{ab}\geq\frac{8abc}{c^2+1}2cab2+18abc,2abc2+18abc

\qquad只需证:a+b+c+3≥2(bc+ca+ab).a+b+c+\sqrt3\geq2(\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}).a+b+c+32(bc+ca+ab).

\qquad由柯西不等式知

\qquad3≥1+1+1⋅ab+bc+ca≥ab+bc+ca\sqrt3\geq\sqrt{1+1+1}\cdot\sqrt{ab+bc+ca}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}31+1+1ab+bc+caab+bc+ca

\qquada+b+c≥ab+bc+caa+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}a+b+cab+bc+ca

⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0.\Leftrightarrow(\sqrt a-\sqrt b)^2+(\sqrt b-\sqrt c)^2+(\sqrt c-\sqrt a)^2\geq0.(ab)2+(bc)2+(ca)20.

\qquad从而,所证不等式成立.

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/22ca96b7bd39 在当今的软件开发领域,自动化构建与发布是提升开发效率和项目质量的关键环节。Jenkins Pipeline作为一种强大的自动化工具,能够有效助力Java项目的快速构建、测试及部署。本文将详细介绍如何利用Jenkins Pipeline实现Java项目的自动化构建与发布。 Jenkins Pipeline简介 Jenkins Pipeline是运行在Jenkins上的一套工作流框架,它将原本分散在单个或多个节点上独立运行的任务串联起来,实现复杂流程的编排与可视化。它是Jenkins 2.X的核心特性之一,推动了Jenkins从持续集成(CI)向持续交付(CD)及DevOps的转变。 创建Pipeline项目 要使用Jenkins Pipeline自动化构建发布Java项目,首先需要创建Pipeline项目。具体步骤如下: 登录Jenkins,点击“新建项”,选择“Pipeline”。 输入项目名称和描述,点击“确定”。 在Pipeline脚本中定义项目字典、发版脚本和预发布脚本。 编写Pipeline脚本 Pipeline脚本是Jenkins Pipeline的核心,用于定义自动化构建和发布的流程。以下是一个简单的Pipeline脚本示例: 在上述脚本中,定义了四个阶段:Checkout、Build、Push package和Deploy/Rollback。每个阶段都可以根据实际需求进行配置和调整。 通过Jenkins Pipeline自动化构建发布Java项目,可以显著提升开发效率和项目质量。借助Pipeline,我们能够轻松实现自动化构建、测试和部署,从而提高项目的整体质量和可靠性。
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