因式分解

最新推荐文章于 2024-01-10 21:15:52 发布

洛大

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分解因式

(1). $p^2(a-1)+p(1-a)$

= $p^2(a-1)-(a-1)$
= $p (a - 1) (p - 1)$

(2). $a^2-a)^2-14(a^2-a)+24$

= $a^2-a-2)(a^2-a-12)$
= $(a - 2) (a + 1) (a - 4) (a + 3)$

(3). $ab+b^2+a-b-2$

= $b (a + b) + (a + b) - 2 (b + 1)$
= $(b + 1) (a + b) - 2 (b + 1)$
= $(b + 1) (a + b - 2)$

(4). $2x^4+13x^3+20x^2+11x+2$

= $2x^4+13x^3+6x^2+14x^2+11x+2$
= $x^2(2x+1)(x+6)+(2x+1)(7x+2)$
= $2x+1)(x^3+6x^2+7x+2)$
= $2x+1)[x(x^2+6x+5)+2(x+1)]$
= $2x+1)(x+1)(x^2+5x+2)$

(5). $6x^2+xy-15y^2+4x-25y-10$

= $(2 x - 3 y) (3 x + 5 y) + (4 x - 25 y) - 10$
= $(2 x - 3 y - 2) (3 x + 5 y + 5)$

(6). 如果把多项式 $x^2-8x+m$ 分解因式得 $(x - 10) (x + n)$ ，求 $m 、 n$ 的值。

$x-10)(x+n)=x^2+(10-n)x-10n$
$n - 10 = - 8$
$- 10 n = m$
$n = - 2$
$m = 20$

(7). 已知 $3 a + 3 b = - 9$ ，求 $2a^2+4ab+2b^2-6$ 的值。

$a + b = - 3$
$2a^2+4ab+2b^2-6$
= $2(a+b)^2-6$
= $12$

(8). 设 $a(a-1)-(a^2-b)=2$ ，求 $a2+b22−ab\frac {a^2+b^2}2-ab$ 的值。

$a(a-1)-(a^2-b)=2$
= $a^2-a-a^2+b$
= $- a + b = 2$
$a2+b22−ab=a2+b2−2ab2=(a−b)22=2\frac {a^2+b^2}2-ab=\frac {a^2+b^2-2ab}2=\frac{(a-b)^2}{2}=2$

1.把下列各式分解因式：
(1) $x^2+2y-y^2-2x$

= $x^2-y^2)-(2x-2y)$
= $(x + y) (x - y) - 2 (x - y)$
= $(x + y - 2) (x - y)$

(2) $2a^2+bc^2-a^2b-2ac$

= $2a^2-2ac)+(bc^2-a^2b)$
= $2a(a-c)-b(a^2-c^2)$
= $2 a (a - c) - b (a - c) (a + c)$
= $(a - c) (2 a - a b - b c)$

(3) $a^2+b^2+2ac+2bc+2ab$

= $a^2+2ab+b^2)+(2ac+2bc)$
= $a+b)^2+2c(a+b)$
= $(a + b) (a + b + 2 c)$

(4) $4x^2+y^2-z^2-4xy$

= $2x-y)^2-z^2$
= $(2 x - y + z) (2 x - y - z)$

2.把下列关于 $x$ 的二次多项式因式分解
(1) $x^2+x-1$

= $(x+1+52)(x−1+52)(x+\frac {1+\sqrt 5}2)(x-\frac {1+\sqrt 5}2)$

(2) $x^2+4xy-4y^2$

= $[x+2(1−2)y][x+2(1+2)y][x+2(1-\sqrt 2)y][x+2(1+\sqrt 2)y]$

1.分解因式： $x^2-y^2-2y-1$

= $x^2-(y^2+2y+1)$
= $x^2-(y+1)^2$
= $(x + y + 1) (x - y - 1)$

2.把 $2(a^2-3mn)+a(4m-3n)$ 因式分解

= $2a^2-6mn+4am-3an$
= $2 a (a + 2 m) - 3 n (a + 2 m)$
= $(a + 2 m) (2 a - 3 n)$

分组分解法

定义

先分组，再分组分解，然后提公因式

应用

能分组分解的式子有四项或六项或大于六项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

$a x + a y + b x + b y$
= $a (x + y) + b (x + y)$
= $(a + b) (x + y)$

1.用分组分解法把 $4x^2-2x-y^2-y$ 因式分解。

= $4x^2-y^2)-(2x+y)$
= $(2 x - y) (2 x + y) - (2 x + y)$
= $(2 x + y) (2 x - y - 1)$

(1)在实数范围内分解因式： $x^5-64$ .

= $x(x2+8)(x+22)(x−22)x(x^2+8)(x+2\sqrt 2)(x-2\sqrt 2)$

(2)已知 $a, b, c, d$ 为非负整数，且 $a c + b d + a d + b c = 1997$ ,求 $a + b + c + d$ 的值。

$a c + b d + a d + b c = (a + b) (c + d) = 1997$
又因为1997为质数
不妨 $a + b = 1$ && $c + d = 1997$
$a + b + c + d = 1998$

(3)已知 $a, b, c$ 是一个三角形的三边，求证： $a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2<0$

= $a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2-4a^2b^2$
= $a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2$
= $(a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (a - b - c)$
由三角形两边之长大于第三边即判断正负

(4) 已知 $x+y=3, x^2+y^2-xy=4$ ，求 $x^4+y^4+x^3y+xy^3$ 的值。

$x^4+y^4+x^3y+xy^3$
= $x^3(x+y)+y^3(x+y)$
= $x^3+y^3)(x+y)$
= $x+y)^2(x^2-xy+y^2)$
= $32⋅43^2\cdot4$
= 12