探讨了最大正整数r的求解，使任意染色的正整数中总能找到满足特定比例关系的同色数对。通过构造性证明，确定了r的上限，并给出了一种染色方案，证明了不存在满足条件的数对。
设 α、β(1<α<β)\alpha 、\beta (1<\alpha<\beta)α、β(1<α<β) 为实数.求具有下述性质的最大正整数 rrr ：将每个正整数任意染上 rrr 种颜色之一，则总存在两个同色的正整数 x、yx、yx、y ，满足 α≤xy≤β\alpha\leq\frac xy\leq\betaα≤yx≤β.
【分析】
假设存在满足题设的正整数 rrr.
若存在正整数 N0N_0N0 ，使得对所有 n>N0n>N_0n>N0 的正整数 nnn，均为同一种颜色， 则结论显然成立. 否则存在正整数 t>N0t>N_0t>N0 ，使得 ttt 和 t+1t+1t+1 不同色.
\qquad考虑 r+1r+1r+1 个正整数
a0=t，a1=t+1，\qquad a_0=t，a_1=t+1，a0=t，a1=t+1，
ai+1=⌈αai⌉(i=1,2,⋯ ,r−1).\qquad a_{i+1}=\lceil\alpha a_i\rceil(i=1,2,\cdots,r-1).ai+1=⌈αai⌉(i=1,2,⋯,r−1).
则ai+1<αai+1(i=1,2,⋯ ,r−1)\qquad则 a_{i+1}<\alpha a_i+1(i=1,2,\cdots,r-1)则ai+1<αai+1(i=1,2,⋯,r−1)
⇒ar<αar−1+1<α(αar−2+1)+1\qquad\Rightarrow a_r<\alpha a_{r-1}+1<\alpha(\alpha a_{r-2}+1)+1⇒ar<αar−1+1<α(αar−2+1)+1
=α2ar−2+α+1<⋯\qquad=\alpha^2a_{r-2}+\alpha+1<\cdots=α2ar−2+α+1<⋯
<αr−1a1+αr−1+⋯+α+1\qquad<\alpha^{r-1}a_1+\alpha^{r-1}+\cdots+\alpha+1<αr−1a1+αr−1+⋯+α+1
=αr−1(a0+1)+∑k=1r−2αk\qquad=\alpha^{r-1}(a_0+1)+\sum\limits_{k=1}^{r-2}\alpha^k=αr−1(a0+1)+k=1∑r−2αk
=αr−1a0+∑k=0r−1αk\qquad=\alpha^{r-1}a_0+\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^k=αr−1a0+k=0∑r−1αk
⇒ar<αr−1a0+∑k=0r−1αk\Rightarrow a_r<\alpha^{r-1}a_0+\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^k⇒ar<αr−1a0+k=0∑r−1αk
令 αr−1a0+∑k=0r−1αk<βa0.\alpha^{r-1}a_0+\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^k<\beta a_0.αr−1a0+k=0∑r−1αk<βa0.
于是， (β−αr−1)a0>∑k=0r−1αk.(\beta-\alpha^{r-1})a_0>\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^k.(β−αr−1)a0>k=0∑r−1αk.
故当 β−αr−1>0⇔1+logaβ>r,\beta-\alpha^{r-1}>0\Leftrightarrow1+\log_a\beta>r,β−αr−1>0⇔1+logaβ>r,
即 rmax=⌈logαβ⌉r_{max}=\lceil\log_{\alpha}\beta\rceilrmax=⌈logαβ⌉ 时，
a0>1β−αr−1∑k=0r−1αk\qquad a_0>\frac1{\beta-\alpha^{r-1}}\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^ka0>β−αr−11k=0∑r−1αk
\qquad取上诉正整数 N0N_0N0 充分大，使得 n>N0n>N_0n>N0 时，有
n>1β−αr−1∑k=0r−1αk\qquad n>\frac1{\beta-\alpha^{r-1}}\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^kn>β−αr−11k=0∑r−1αk
\qquad则 ar<αr−1a0+∑k=0r−1αk<βa0.a_r<\alpha^{r-1}a_0+\sum\limits_{k=0}^{r-1}\alpha^k<\beta a_0.ar<αr−1a0+k=0∑r−1αk<βa0.
\qquad由 {ai}\{a_i\}{ai} 递增且共有 r+1r+1r+1 个数染了 rrr 种颜色，知必有 0≤i<j≤r0\leq i<j\leq r0≤i<j≤r ,使得 ai、aja_i、a_jai、aj 同色，且
αai≤ai+1≤aj≤ar<βa0≤βai\qquad \alpha a_i\leq a_{i+1}\leq a_j\leq a_r<\beta a_0\leq \beta a_iαai≤ai+1≤aj≤ar<βa0≤βai,
即 α≤ajai<β.\alpha\leq\frac{a_j}{a_i}<\beta.α≤aiaj<β.
\qquad因此， r=⌈logαβ⌉r=\lceil\log_{\alpha}\beta\rceilr=⌈logαβ⌉ 满足条件.
\qquad下面证明：
存在染色方案将每个正整数染上 r=⌈logαβ⌉+1r=\lceil\log_{\alpha}\beta\rceil+1r=⌈logαβ⌉+1 种颜色之一，使得没有两个同色的数 x、yx、yx、y ,满足 α≤xy≤β.\alpha\leq\frac xy\leq\beta.α≤yx≤β.\qquad
\qquad设 rrr 种颜色为 A0,A1,⋯ ,Ar−1A_0,A_1,\cdots,A_{r-1}A0,A1,⋯,Ar−1，将正整数 nnn 染为 AiA_iAi 色当且仅当 ⌊logαn⌋≡i(modr).\lfloor\log_{\alpha}n\rfloor\equiv i\pmod r.⌊logαn⌋≡i(modr).
\qquad则这样的染法满足要求.
\qquad因为对任意满足 α≤xy≤β\alpha\leq\frac xy\leq \betaα≤yx≤β 的正整数 x、yx、yx、y 有
1=⌊logαα⌋≤⌊logαxy⌋\qquad 1=\lfloor\log_{\alpha}\alpha\rfloor\leq\lfloor\log_{\alpha}\frac xy\rfloor1=⌊logαα⌋≤⌊logαyx⌋
≤⌊logαx⌋−⌊logαy⌋≤⌈logαxy⌉\qquad \leq\lfloor\log_{\alpha}x\rfloor-\lfloor\log_{\alpha}y\rfloor\leq\lceil\log_{\alpha}\frac xy\rceil≤⌊logαx⌋−⌊logαy⌋≤⌈logαyx⌉
≤⌈logαβ⌉=r−1,\qquad\leq\lceil\log_{\alpha}\beta\rceil=r-1,≤⌈logαβ⌉=r−1,
\qquad所以，⌊logαx⌋̸≡⌊logαy⌋(modr)\lfloor\log_{\alpha}x\rfloor\not\equiv\lfloor\log_{\alpha}y\rfloor\pmod r⌊logαx⌋̸≡⌊logαy⌋(modr)，即 xxx 与 yyy 不同色.
（邹明 法少鹏）
扫一扫
206
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
