2003,第15届亚太地区数学奥林匹克

本文探讨了三角形边长a、b、c在特定条件下的n次根不等式,通过数学推导证明了对于任意n≥2,a^n+b^n的n次根加b^n+c^n的n次根加c^n+a^n的n次根小于1+2的n次根除以2。证明过程中利用了组合数公式和不等式性质。

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a、b、ca、b、cabc 是某三角形得三条边的边长,且 a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1 .若整数 n≥2,n\geq2,n2 证明:

an+bnn+bn+cnn+cn+ann&lt;1+2n2.\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}&lt;1+\frac{\sqrt[n]2}2.nan+bn+nbn+cn+ncn+an<1+2n2.

\qquad证明\qquada≥b≥c&gt;0a\geq b\geq c&gt;0abc>0 .
\qquad因为 a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1,所以,
\qquad (b+c2)n=bn+c2Cn1bn−1+c24Cn2bn−2+⋯+cn2nCnn(b+\frac c2)^n=b^n+\frac c2C_n^1b^{n-1}+\frac{c^2}4C_n^2b^{n-2}+\cdots+\frac{c^n}{2^n}C_n^n(b+2c)n=bn+2cCn1bn1+4c2Cn2bn2++2ncnCnn

≥bn+[12Cn1+(12)2Cn2+⋯+(12)nCnn]cn\qquad\qquad\qquad\geq b^n+[\frac12C_n^1+(\frac12)^2C_n^2+\cdots+(\frac12)^nC_n^n]c^nbn+[21Cn1+(21)2Cn2++(21)nCnn]cn

=bn+[(12+1)n−1]cn\qquad\qquad\qquad=b^n+[(\dfrac12+1)^n-1]c^n=bn+[(21+1)n1]cn.

\qquad因为 n≥2n\geq 2n2,所以,(12+1)n−1&gt;1.(\dfrac12+1)^n-1&gt;1.(21+1)n1>1.从而, (b+c2)n&gt;bn+cn(b+\frac c2)^n&gt;b^n+c^n(b+2c)n>bn+cn.

\qquadbn+cnn&lt;b+c2.⋯①\sqrt[n]{b^n+c^n}&lt;b+\dfrac c2.\cdots①nbn+cn<b+2c.

\qquad同理, an+cnn&lt;a+c2⋯②\sqrt[n]{a^n+c^n}&lt;a+\dfrac c2\cdots②nan+cn<a+2c.

\qquad又因为 a&lt;12,b&lt;12a&lt;\dfrac12,b&lt;\dfrac12a<21,b<21 , 所以,

\qquad an+bnn&lt;(12)n+(12)nn=2n2⋯③\sqrt[n]{a^n+b^n}&lt;\sqrt[n]{(\frac12)^n+(\frac12)^n}=\frac{\sqrt[n]2}2\cdots③nan+bn<n(21)n+(21)n=2n2

\qquad①+②+③得 an+bnn+bn+cnn+cn+ann&lt;1+2n2.\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}&lt;1+\frac{\sqrt[n]2}2.nan+bn+nbn+cn+ncn+an<1+2n2.

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