2003,第15届亚太地区数学奥林匹克

本文探讨了三角形边长a、b、c在特定条件下的n次根不等式,通过数学推导证明了对于任意n≥2,a^n+b^n的n次根加b^n+c^n的n次根加c^n+a^n的n次根小于1+2的n次根除以2。证明过程中利用了组合数公式和不等式性质。

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a、b、ca、b、cabc 是某三角形得三条边的边长,且 a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1 .若整数 n≥2,n\geq2,n2 证明:

an+bnn+bn+cnn+cn+ann&lt;1+2n2.\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}&lt;1+\frac{\sqrt[n]2}2.nan+bn+nbn+cn+ncn+an<1+2n2.

\qquad证明\qquada≥b≥c&gt;0a\geq b\geq c&gt;0abc>0 .
\qquad因为 a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1,所以,
\qquad (b+c2)n=bn+c2Cn1bn−1+c24Cn2bn−2+⋯+cn2nCnn(b+\frac c2)^n=b^n+\frac c2C_n^1b^{n-1}+\frac{c^2}4C_n^2b^{n-2}+\cdots+\frac{c^n}{2^n}C_n^n(b+2c)n=bn+2cCn1bn1+4c2Cn2bn2++2ncnCnn

≥bn+[12Cn1+(12)2Cn2+⋯+(12)nCnn]cn\qquad\qquad\qquad\geq b^n+[\frac12C_n^1+(\frac12)^2C_n^2+\cdots+(\frac12)^nC_n^n]c^nbn+[21Cn1+(21)2Cn2++(21)nCnn]cn

=bn+[(12+1)n−1]cn\qquad\qquad\qquad=b^n+[(\dfrac12+1)^n-1]c^n=bn+[(21+1)n1]cn.

\qquad因为 n≥2n\geq 2n2,所以,(12+1)n−1&gt;1.(\dfrac12+1)^n-1&gt;1.(21+1)n1>1.从而, (b+c2)n&gt;bn+cn(b+\frac c2)^n&gt;b^n+c^n(b+2c)n>bn+cn.

\qquadbn+cnn&lt;b+c2.⋯①\sqrt[n]{b^n+c^n}&lt;b+\dfrac c2.\cdots①nbn+cn<b+2c.

\qquad同理, an+cnn&lt;a+c2⋯②\sqrt[n]{a^n+c^n}&lt;a+\dfrac c2\cdots②nan+cn<a+2c.

\qquad又因为 a&lt;12,b&lt;12a&lt;\dfrac12,b&lt;\dfrac12a<21,b<21 , 所以,

\qquad an+bnn&lt;(12)n+(12)nn=2n2⋯③\sqrt[n]{a^n+b^n}&lt;\sqrt[n]{(\frac12)^n+(\frac12)^n}=\frac{\sqrt[n]2}2\cdots③nan+bn<n(21)n+(21)n=2n2

\qquad①+②+③得 an+bnn+bn+cnn+cn+ann&lt;1+2n2.\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}&lt;1+\frac{\sqrt[n]2}2.nan+bn+nbn+cn+ncn+an<1+2n2.

EnMAP-Box是一款高效、便捷的遥感图像处理软件,其独特之处在于它是一个免安装的应用程序,用户可以直接运行而无需进行复杂的安装过程。这款工具主要用于处理和分析来自各种遥感传感器的数据,如EnMAP(环境多波段光谱成像仪)和其他同类设备获取的高光谱图像。EnMAP-Box的设计目标是为科研人员和实践工作者提供一个直观、易用的平台,以执行复杂的遥感数据处理任务。 在使用EnMAP-Box之前,一个关键的前提条件是需要有一个兼容的IDL(Interactive Data Language)环境。IDL是一种强大的编程语言,特别适用于科学数据的处理和可视化,尤其是在地球科学和遥感领域。它提供了丰富的库函数,支持对多维数组操作,这使得它成为处理遥感图像的理想选择。EnMAP-Box是基于IDL开发的,因此,用户在使用该软件之前需要确保已经正确配置了IDL环境。 EnMAP-Box的主要功能包括: 1. 数据导入:能够读取多种遥感数据格式,如ENVI、HDF、GeoTIFF等,方便用户将不同来源的遥感图像导入到软件中进行分析。 2. 预处理:提供辐射校正、大气校正、几何校正等功能,用于改善原始图像的质量,确保后续分析的准确性。 3. 分光分析:支持高光谱图像的光谱特征提取,如光谱指数计算、光谱端元分离等,有助于识别地物类型和监测环境变化。 4. 图像分类:通过监督或非监督方法进行图像分类,可以自动或半自动地将图像像素划分为不同的地物类别。 5. 时间序列分析:对于多时相遥感数据,EnMAP-Box能进行时间序列分析,揭示地表动态变化趋势。 6. 结果导出与可视化:处理后的结果可以导出为各种格式,同时软件内置了图像显示和地图投影功能,帮助用户直观地查看和理解处理结果。 7. 自定义脚本:利用IDL的强大功能,用户可以编写自定义脚本来实现特定的遥感处理需求,增强了软件的灵活性和可扩展性。 在使用EnMAP-Box的过程中,用户可能会遇到一些挑战,例如对IDL编程语言不熟悉,或者对遥感数据处理的基本概念和方法缺乏了解。这时,可以通过查阅软件自带的文档、教程,以及在线资源来提升技能。同时,积极参与相关的学习社区和论坛,与其他用户交流经验,可以帮助解决遇到的问题。 EnMAP-Box作为一款基于IDL的遥感图像处理工具,为遥感数据分析提供了便利,但需要用户具备一定的IDL基础和遥感知识。通过熟练掌握EnMAP-Box,用户可以高效地处理和解析遥感数据,揭示地表信息,为环境保护、资源管理等领域提供科学支持。
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