2003,第32届美国数学奥林匹克

已知 a、b、ca、b、cabc 为正实数.证明:

(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤8\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq82a2+(b+c)2(2a+b+c)2+2b2+(c+a)2(2b+c+a)2+2c2+(a+b)2(2c+a+b)28

证明:因为 a、b、c∈R+a、b、c\in\R^+abcR+ ,所以,由柯西不等式知
2a2+(b+c)22+(b+c)223≥2a+22(b+c)+22(b+c)3=2(a+b+c)3.\sqrt{\dfrac{2a^2+\frac{(b+c)^2}2+\frac{(b+c)^2}2}3}\geq\dfrac{\sqrt2a+\frac{\sqrt2}2(b+c)+\frac{\sqrt2}2(b+c)}3=\dfrac{\sqrt2(a+b+c)}3.32a2+2(b+c)2+2(b+c)232a+22(b+c)+22(b+c)=32(a+b+c).

2a2+(b+c)2≥2(a+b+c)232a^2+(b+c)^2\geq\dfrac{2(a+b+c)^2}32a2+(b+c)232(a+b+c)2

同理, 2b2+(c+a)≥2(a+b+c)23,2c2+(a+b)2≥2(a+b+c)232b^2+(c+a)\geq\frac{2(a+b+c)^2}3,2c^2+(a+b)^2\geq\frac{2(a+b+c)^2}32b2+(c+a)32(a+b+c)22c2+(a+b)232(a+b+c)2

4a≥b+c,4b≥c+a,4c≥a+b⋯①4a\geq b+c,4b\geq c+a,4c\geq a+b\cdots①4ab+c4bc+a4ca+b

(2a+b+c)22a2+(b+c)2=2+(4a−b−c)(b+c)2a2+(b+c)2≤2+3(4ab+4ac−b2−2bc−c2)2(a+b+c)2\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=2+\frac{(4a-b-c)(b+c)}{2a^2+(b+c)^2}\leq2+\frac{3(4ab+4ac-b^2-2bc-c^2)}{2(a+b+c)^2}2a2+(b+c)2(2a+b+c)2=2+2a2+(b+c)2(4abc)(b+c)2+2(a+b+c)23(4ab+4acb22bcc2)

(2b+c+a)22b2+(c+a)2≤2+3(4bc+4ba−a2−2ac−c2)2(a+b+c)2,\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}\leq2+\frac{3(4bc+4ba-a^2-2ac-c^2)}{2(a+b+c)^2},2b2+(c+a)2(2b+c+a)22+2(a+b+c)23(4bc+4baa22acc2),

(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤2+3(4ca+4cb−a2−2ab−b2)2(a+b+c)2.\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq2+\frac{3(4ca+4cb-a^2-2ab-b^2)}{2(a+b+c)^2}.2c2+(a+b)2(2c+a+b)22+2(a+b+c)23(4ca+4cba22abb2).

三式相加得

(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}2a2+(b+c)2(2a+b+c)2+2b2+(c+a)2(2b+c+a)2+2c2+(a+b)2(2c+a+b)2≤6+3(6ab+6bc+6ca−2a2−2b2−2c2)2(a+b+c)2\leq6+\frac{3(6ab+6bc+6ca-2a^2-2b^2-2c^2)}{2(a+b+c)^2}6+2(a+b+c)23(6ab+6bc+6ca2a22b22c2)=6+3[3(a+b+c)2−5a2−5b2−5c2]2(a+b+c)2=6+\frac{3[3(a+b+c)^2-5a^2-5b^2-5c^2]}{2(a+b+c)^2}=6+2(a+b+c)23[3(a+b+c)25a25b25c2]=212−152⋅a2+b2+c2(a+b+c)2≤212−152×13=8=\frac{21}2-\frac{15}2\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\leq\frac{21}2-\frac{15}2\times\frac13=8=221215(a+b+c)2a2+b2+c2221215×31=8

若结论①不成立,不妨设 4a&lt;b+c.4a&lt;b+c.4a<b+c.(2a+b+c)22a2+(b+c)2&lt;2\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}&lt;22a2+(b+c)2(2a+b+c)2<2.

由柯西不等式得 [b+b+(c+a)]2≤[b2+b2+(c+a)2](1+1+1)[b+b+(c+a)]^2\leq[b^2+b^2+(c+a)^2](1+1+1)[b+b+(c+a)]2[b2+b2+(c+a)2](1+1+1) ,故

(2b+c+a)22b2+(c+a)2≤3\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}\leq32b2+(c+a)2(2b+c+a)23.

同理, (2c+a+b)22c2+(a+b)2≤3.\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq3.2c2+(a+b)2(2c+a+b)23.

所以,(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2&lt;8.\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}&lt;8.2a2+(b+c)2(2a+b+c)2+2b2+(c+a)2(2b+c+a)2+2c2+(a+b)2(2c+a+b)2<8.

综上,知原不等式成立,当且仅当 a=b=ca=b=ca=b=c 时等号成立.

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/abbae039bf2a 无锡平芯微半导体科技有限公司生产的A1SHB三极管(全称PW2301A)是一款P沟道增强型MOSFET,具备低内阻、高重复雪崩耐受能力以及高效电源切换设计等优势。其技术规格如下:最大漏源电压(VDS)为-20V,最大连续漏极电流(ID)为-3A,可在此条件下稳定工作;栅源电压(VGS)最大值为±12V,能承受正反向电压;脉冲漏极电流(IDM)可达-10A,适合处理短暂高电流脉冲;最大功率耗散(PD)为1W,可防止器件过热。A1SHB采用3引脚SOT23-3封装,小型化设计利于空间受限的应用场景。热特性方面,结到环境的热阻(RθJA)为125℃/W,即每增加1W功率损耗,结温上升125℃,提示设计电路时需考虑散热。 A1SHB的电气性能出色,开关特性优异。开关测试电路及波形图(图1、图2)展示了不同条件下的开关性能,包括开关上升时间(tr)、下降时间(tf)、开启时间(ton)和关闭时间(toff),这些参数对评估MOSFET在高频开关应用中的效率至关重要。图4呈现了漏极电流(ID)与漏源电压(VDS)的关系,图5描绘了输出特性曲线,反映不同栅源电压下漏极电流的变化。图6至图10进一步揭示性能特征:转移特性(图7)显示栅极电压(Vgs)对漏极电流的影响;漏源开态电阻(RDS(ON))随Vgs变化的曲线(图8、图9)展现不同控制电压下的阻抗;图10可能涉及电容特性,对开关操作的响应速度和稳定性有重要影响。 A1SHB三极管(PW2301A)是高性能P沟道MOSFET,适用于低内阻、高效率电源切换及其他多种应用。用户在设计电路时,需充分考虑其电气参数、封装尺寸及热管理,以确保器件的可靠性和长期稳定性。无锡平芯微半导体科技有限公司提供的技术支持和代理商服务,可为用户在产品选型和应用过程中提供有
资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/9648a1f24758 在 JavaScript 中实现点击展开与隐藏效果是一种非常实用的交互设计,它能够有效提升用户界面的动态性和用户体验。本文将详细阐述如何通过 JavaScript 实现这种功能,并提供一个完整的代码示例。为了实现这一功能,我们需要掌握基础的 HTML 和 CSS 知识,以便构建基本的页面结构和样式。 在这个示例中,我们有一个按钮和一个提示框(prompt)。默认情况下,提示框是隐藏的。当用户点击按钮时,提示框会显示出来;再次点击按钮时,提示框则会隐藏。以下是 HTML 部分的代码: 接下来是 CSS 部分。我们通过设置提示框的 display 属性为 none 来实现默认隐藏的效果: 最后,我们使用 JavaScript 来处理点击事件。我们利用事件监听机制,监听按钮的点击事件,并通过动态改变提示框的 display 属性来实现展开和隐藏的效果。以下是 JavaScript 部分的代码: 为了进一步增强用户体验,我们还添加了一个关闭按钮(closePrompt),用户可以通过点击该按钮来关闭提示框。以下是关闭按钮的 JavaScript 实现: 通过以上代码,我们就完成了点击展开隐藏效果的实现。这个简单的交互可以通过添加 CSS 动画效果(如渐显渐隐等)来进一步提升用户体验。此外,这个基本原理还可以扩展到其他类似的交互场景,例如折叠面板、下拉菜单等。 总结来说,JavaScript 实现点击展开隐藏效果主要涉及 HTML 元素的布局、CSS 的样式控制以及 JavaScript 的事件处理。通过监听点击事件并动态改变元素的样式,可以实现丰富的交互功能。在实际开发中,可以结合现代前端框架(如 React 或 Vue 等),将这些交互封装成组件,从而提高代码的复用性和维护性。
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