2003，第32届美国数学奥林匹克

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已知 $a 、 b 、 c$ 为正实数.证明：

$(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤8\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq8$

证明：因为 $a、b、c∈R+a、b、c\in\R^+$ ,所以，由柯西不等式知
$2a2+(b+c)22+(b+c)223≥2a+22(b+c)+22(b+c)3=2(a+b+c)3.\sqrt{\dfrac{2a^2+\frac{(b+c)^2}2+\frac{(b+c)^2}2}3}\geq\dfrac{\sqrt2a+\frac{\sqrt2}2(b+c)+\frac{\sqrt2}2(b+c)}3=\dfrac{\sqrt2(a+b+c)}3.$

故 $2a2+(b+c)2≥2(a+b+c)232a^2+(b+c)^2\geq\dfrac{2(a+b+c)^2}3$

同理， $2b2+(c+a)≥2(a+b+c)23，2c2+(a+b)2≥2(a+b+c)232b^2+(c+a)\geq\frac{2(a+b+c)^2}3，2c^2+(a+b)^2\geq\frac{2(a+b+c)^2}3$

若 $4a≥b+c，4b≥c+a，4c≥a+b⋯①4a\geq b+c，4b\geq c+a，4c\geq a+b\cdots①$

则 $(2a+b+c)22a2+(b+c)2=2+(4a−b−c)(b+c)2a2+(b+c)2≤2+3(4ab+4ac−b2−2bc−c2)2(a+b+c)2\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=2+\frac{(4a-b-c)(b+c)}{2a^2+(b+c)^2}\leq2+\frac{3(4ab+4ac-b^2-2bc-c^2)}{2(a+b+c)^2}$

$(2b+c+a)22b2+(c+a)2≤2+3(4bc+4ba−a2−2ac−c2)2(a+b+c)2,\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}\leq2+\frac{3(4bc+4ba-a^2-2ac-c^2)}{2(a+b+c)^2},$

$(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤2+3(4ca+4cb−a2−2ab−b2)2(a+b+c)2.\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq2+\frac{3(4ca+4cb-a^2-2ab-b^2)}{2(a+b+c)^2}.$

三式相加得

$(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}$ $≤6+3(6ab+6bc+6ca−2a2−2b2−2c2)2(a+b+c)2\leq6+\frac{3(6ab+6bc+6ca-2a^2-2b^2-2c^2)}{2(a+b+c)^2}$ $=6+3[3(a+b+c)2−5a2−5b2−5c2]2(a+b+c)2=6+\frac{3[3(a+b+c)^2-5a^2-5b^2-5c^2]}{2(a+b+c)^2}$ $=212−152⋅a2+b2+c2(a+b+c)2≤212−152×13=8=\frac{21}2-\frac{15}2\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\leq\frac{21}2-\frac{15}2\times\frac13=8$

若结论①不成立，不妨设 $4 a < b + c .$ 则 $(2a+b+c)22a2+(b+c)2<2\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}<2$ .

由柯西不等式得 $[b+b+(c+a)]2≤[b2+b2+(c+a)2](1+1+1)[b+b+(c+a)]^2\leq[b^2+b^2+(c+a)^2](1+1+1)$ ，故

$(2b+c+a)22b2+(c+a)2≤3\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}\leq3$ .

同理， $(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤3.\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq3.$

所以， $(2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2<8.\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}<8.$