papership的博客

编号为i的节点是叶子节点，当且仅当：i > ⌊n/2⌋（n为总节点数）。例：n=6（偶）→ 度为 1 的节点是 3（只有左子节点 6）；高度：叶子节点高度为 1，完全二叉树的高度 = 根节点的高度 = ⌊log₂n⌋ + 1；除最后一层外，每一层的节点数都达到最大值（即第k层有2^(k-1)个节点，k≥1）；若n为偶数：度为 1 的节点数 = 1（最后一个非叶子节点只有左子节点）；若n为奇数：度为 1 的节点数 = 0（所有非叶子节点都有左右子节点）。若i=1，为根节点，无父节点）。

13世纪，我国古代数学家杨辉在其《详解九章算法》(1261) 中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。杨辉三角在我国古代大多用来作为开方的工具。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。杨辉三角（也称帕斯卡三角）是组合数学中一个非常优美且实用的工具，它清晰地展示了二项式系数和组合数的规律。行2的 2 = 行1的 1 + 1。行3的 3 = 行2的 1 + 2。行4的 6 = 行3的 3 + 3。

子集： 如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。对于三个集合：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|对称差： A ⊕ B = {x | (x ∈ A 或 x ∈ B) 且 x ∉ (A ∩ B)} = (A ∪ B) - (A ∩ B)集合相等： 如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则集合 A 和 B 相等，记作 A = B。空集是唯一的，也是任何集合的子集。

列出所有可能：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB。公式： P(n, r) = n × (n-1) × (n-2) × …列出几种可能：(5苹果, 0香蕉, 0橙子), (4,1,0), (3,2,0), (3,1,1)…公式： C(n + r - 1, r) 或等价的 C(n + r - 1, n - 1)

设完成一个任务有 k 类不同的方案。在第一类方案中有 n1 种方法，在第二类方案中有 n2种方法，……，在第 k 类方案中有nk种方法。"加法原理"是离散与组合数学中的基本原来。是组合计数中最简单、最直观，也是最重要的原理之一。意味着这些方案类别之间没有重叠，完成任务的任何一种方法都属于且仅属于其中一个类别。如果完成一项任务有互斥的若干类方案，那么完成该任务的总方法数，等于各类方案方法数之和。掌握加法原理，是步入组合数学世界的第一步，也是解决更复杂计数问题的基础。加法原理的核心思想可以概括为一句话：。

乘法原理是组合数学的基石，它的核心思想是 “分步相乘”，掌握好乘法原理，是学习后续更复杂的排列（Permutation）、组合（Combination）等概念的关键。说"加法原理"也好，"乘法原理"也好，其实大家都会算数，这个没什么难的，关键这里是让大家了解在计算机的世界，如何将这2个原理与计算机结合，才能方便我们以后设计程序。就是做一件事，需要分几步完成，每一步都有若干种选择，那么完成这件事的总方法数就是把每一步的选择数乘起来。这时，乘法原理依然适用，但第二步的选择数依赖于第一步的结果。

现在我们要做一个菜，由于每个厨师的操作步骤和做菜的方法都是不同的，因此做出来的菜的口味也不同，那么这个厨师的菜谱其实就是厨师做菜的“算法”。算法是解决特定问题的有限、明确、可执行的步骤集合，用于解决一个特定问题或完成一项特定任务，本质是把输入数据转化为期望输出的“解题流程”。可行性： 算法的每一步都必须是可行的，也就是说，能够通过已经实现的基本操作在有限时间内完成。可执行的： 步骤必须是你能做到的，比如“搅拌”，而不是“用意念混合”。2.“加入3克盐”，而不是“加少许盐”，盐的数量不同，口味自然不同。

枚举法的基本思想：计算机主要功能，或者说它的优势就是算力强大，穷举所有可能看着有些笨拙，但是对于计算机来说不是什么问题，因此我们要善于利用这种思想进行程序设计。枚举法（Brute Force）：是一种直接遍历所有可能情况的算法思想，适合解决数据范围较小的问题。它的核心是穷举所有可能性，并检查哪些情况符合要求。cout << “a + b = 100 的所有正整数解：” << endl;问题没有明显的数学规律，只能暴力尝试。需要找到所有可能的解（如排列组合）。逐个检查 每个可能的解。能够找到所有可能的解。

模拟法（Simulation）：是一种按照问题描述直接模拟过程的算法思想，适合解决流程明确、步骤固定的问题。它的核心是用代码还原实际问题的发展过程。不需要复杂的算法设计，用程序按照问题描述的规则、流程或场景，逐步骤地还原操作过程，最终得到结果。理解问题流程，明确每一步的操作规则，按照问题描述逐步执行。cout << “错误！流程清晰的问题（如游戏规则、物理过程）。需要逐步执行的操作（如自动化操作模拟）。cout << "输入两个数字: ";状态转换明确的问题（如状态机）。适合流程明确、步骤固定的问题。

递推法是指在求解问题时，通过建立相邻项之间的关系（递推公式），从初始条件出发，逐步计算出问题的解的过程。递推公式：描述第 n 项与前面若干项之间关系的数学表达式（如斐波那契数列的递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)）。斐波那契数列特点：从第3个数开始，数字是前2个数字之和，例如，第3个数是1（0+1等于1），第4个数是2（1+1等于2）。初始条件：问题的最小规模解，是递推的起点（如斐波那契数列中的第 1 项和第 2 项）。// 更新F(n-2)为原来的F(n-1)有明显的递推关系的问题。

思路：比如我们想求5的阶乘，我们是不知道的，但是如果我能求出4的阶乘，乘以5就可以得到5的阶乘，按照递归的思想，我们就转移到递归条件中，去函数调用自己，将问题转换为去求4的阶乘，一次类推，去求3的阶乘，求2的阶乘，最终求出1的阶乘，而1的阶乘是已知的，程序进入基线条件部分，然后函数层层调用返回，最终实现求出5的阶乘。使用递归时，一定要确保有明确的基线条件，否则会导致无限递归，最终引发栈溢出错误。对于一些复杂问题，递归可以提供直观的解决方案，但在性能要求较高的场景下，可能需要考虑用迭代替代递归。

调整右边界：right = mid - 1。循环结束：如果循环结束（即 left > right）仍未找到，说明目标值不存在于数组中，返回 -1。计算中间：计算中间索引 mid = left + (right - left) // 2。初始化：设置 left = 0（数组起始索引），right = n-1（数组末尾索引）。假设你要猜的数据是18，需要的中间数字分别是：50，25，13，18，四次就可以完成。问题描述：在有序数组 nums 中查找指定目标数据，若存在返回其索引，否则返回 -1。

2、核心思想是：将过程分成多个2的幂次阶段，通过预处理（或逐步计算）每个幂次步长的结果，从而将线性复杂度的时间代价优化为对数复杂度。这个过程从最大的步长开始尝试，如果不行就缩小步长，直到步长为0。将一个步骤分解，不是一步一步地走，而是每次将步长翻倍，以极高的效率逼近目标。如果成功了，说明目标在 16 米之外，我们下次从 16 米处开始，再尝试跳 8 米（16+8=24 > 20，跳过头了）。那么我们就放弃跳 8 米，尝试跳 4 米（16+4=20，正好到达目标）。先尝试跳一个很大的步长，比如 16 米。

贪心法是一种 “高效但谨慎” 的算法：它在合适的问题上能以极低的成本得到全局最优解，但在不满足条件的问题上会失效。使用贪心法的关键是先验证问题的两个核心条件（贪心选择性质、最优子结构），再设计明确的贪心策略，最后通过案例验证结果是否正确。贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。它不追求回溯或全局规划，而是以 “短视” 的局部最优策略推进，因此效率通常较高，但并非适用于所有问题。对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解。

前缀和是一种预处理技术，是预先计算并存储数组从起始位置到每个位置的元素累加和，从而将区间求和的复杂度从 O(n) 降为 O(1)。它的本质是用 “空间换时间”，通过一次预处理存储中间结果，避免后续重复计算，特别适合需要频繁查询数组区间和的场景。n-1]，我们定义它的前缀和数组 为： prefix[0…prefix[0] = 0 （或者 prefix[0] = nums[0]，根据约定不同）n]来保存数组 nums[0…假设有一个数组，我们需要频繁地查询某个区间 [L, R] 内元素的和。

当我们需要使用一个比这个范围更大的整数（例如，1000位的整数）进行运算时，标准的数据类型就无法满足我们的要求了。4.结果整理：将结果数组逆序，转换为字符串或数字形式，得到最终结果，由于结果是逆序存储的，输出时需要从后往前（即从最高位到最低位）输出。2.逐位相加：从数组的起始位置（即数字的个位）开始，对应位数字相加，再加上上一位的进位（也可能没有进位产生，即进位值为零）。= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (最终结果)1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (处理进位)

高精度减法通过将大数字拆分为单个数字的数组，从最低位（右）向最高位（左）依次计算，同时处理 “借位” 问题，最终得到结果。请参考如下文章：https://blog.youkuaiyun.com/papership/article/details/153468146。2、高精度减法用于处理大整数（超过标准数据类型范围）的减法运算。// 比较两个大数的大小，用于确定结果符号。借位减法：从低位到高位逐位相减，处理借位。// 高精度减法：计算 a - b。// 比较两个数字字符串的大小。

逐位计算乘积：用数组 A 的第 i 位（A [i]）乘以数组 B 的第 j 位（B [j]），结果存入结果数组 C 的第 i+j 位（C [i+j] += A [i] * B [j]）。统一处理进位：遍历结果数组 C，对每一位执行 “C [k] = C [k] % 10”，进位 “C [k+1] += C [k] / 10”，确保每一位都是 0-9 的数字。数组长度估算：若乘数 A 有 n 位、乘数 B 有 m 位，结果最多有 n+m 位，因此结果数组 C 的初始长度可设为 n+m，避免空间不足。

请参考如下文章：https://blog.youkuaiyun.com/papership/article/details/153468146。作为被除数的高精度整数 A[]（数组存储，每个元素存一位数字）第9位: (7*10 + 9) / 13 = 6, r = 1。// 被除数（字符串形式）// 将字符串转换为数组（逆序存储，个位在前）// 高精度除法：A ÷ b = C …// 除数（单精度）商数组 C[i] = 当前被除数 / b。

设计算法时，时间复杂度和空间复杂度往往存在权衡关系，优秀的算法设计需要在两者之间找到平衡点，有两种常用解决方法：一个是空间换时间，就是说使用额外存储空间来减少计算时间；一个是时间换空间，就是说减少存储空间但增加计算时间，在实际的开发过程中，要根据实际资源的情况进行调整。时间复杂度：在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。8 23 4 11 25 第四次，即比较结果（每一趟最后一次排序结束后，最大的数据“浮出水面”，即找到最大的数）

2、将 key 与它前面的元素（已排序部分）从后向前依次比较。虽然时间复杂度为O(n²)，但由于其实现简单、稳定、空间效率高等特点，在实际编程中仍有其用武之地，特别是在作为其他高级算法的组成部分时。从 arr[1]（第二个元素）开始，作为当前需要插入的元素（key）。3、每插入一个元素，已排序部分就增加一个元素，未排序部分就减少一个元素。j = i - 1;2、依次将未排序部分的元素插入到已排序部分的正确位置。// 从第二个元素开始（下标1），作为要插入的元素。// 将比 key 大的元素都向后移动一位。

计数排序核心思想：通过 “统计待排序元素的出现次数”然后根据这些计数信息将元素放置到正确的位置，来确定每个元素的最终位置，而非通过元素间的比较完成排序。它仅适用于元素值范围已知且较为集中的场景（例如年龄、考试分数、商品 ID 等），时间复杂度可达到线性级别，效率远高于冒泡、归并等比较型排序，时间复杂度可以达到 O (n + k)（其中 n 是元素个数，k 是元素值的范围）。计算前缀和：将计数数组转换为前缀和数组，以确定每个元素在结果数组中的位置。// 步骤6：反向遍历原数组，构建有序数组（保证稳定性）

第二轮：从 arr[1] 到 arr[n-1] 中找到最小的元素，将其与 arr[1] 交换。第一轮：从 arr[0] 到 arr[n-1] 中找到最小的元素，将其与 arr[0] 交换。第 i 轮：从 arr[i] 到 arr[n-1] 中找到最小的元素，将其与 arr[i] 交换。// 如果 minIndex == i，说明 arr[i] 已经是未排序部分的最小值，无需交换。// 2. 内层循环，在未排序部分 (i+1 到 n-1) 中寻找真正的最小值的位置。// 更新最小元素的索引。

简单来说，就是思考 dp[i] 如何由前面的状态（如 dp[i-1], dp[i-2] 等）推导出来，即如何利用已经计算过的结果。有了 dp[0] 和 dp[1]之后，我们就可以根据 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 计算出 dp[2], dp[3] …我们需要确定如何遍历整个状态空间，以保证在计算 dp[i] 时，它所依赖的 dp[i-1] 和 dp[i-2] 都已经被计算出来了。所以 dp[0] = 1。dp[1]：爬到第1阶，只有一种方法（爬1个台阶），所以 dp[1] = 1。

在C++中，常量（Constants）和变量（Variables）的命名、定义及作用有所不同，它们直接影响代码的可读性、安全性，还关乎团队协作效率性和后期维护性，良好的命名规范能让代码更清晰、逻辑更易懂。constexpr 修饰符（C++11 起）：定义 “编译时常量”，要求值在编译期即可确定，可用于需要编译期常量的场景（如数组大小、模板参数）。表示固定不变的值：用于存储程序中逻辑上不会变化的量（如数学常数、配置参数上限、固定的字符串等），增强代码可读性（用名称代替魔术数字）。// 表示默认名称的常量。

头文件是扩展名为 .h 或 .hpp 的文件，用于声明类、函数、变量、常量、宏等代码元素，只是声明，并不包含具体实现，以便在多个源文件（.cpp）中共享这些声明，实现代码的模块化和复用。接口定义：头文件相当于模块的 “接口说明书”，使用者只需关注头文件中的声明，无需了解 .cpp 中的具体实现。隐藏实现细节，仅暴露必要的接口，做到接口与实现分离。4、头文件内容的编码规范：头文件中应只放声明（如函数原型、类定义），避免放定义（如函数实现、全局变量初始化），否则可能导致 “多重定义” 错误。

一、编辑（Editing）1、 概念编辑是指使用文本编辑器或集成开发环境（IDE）创建或修改程序源代码的过程。2、使用的编辑工具文本编辑器：如 VS Code、Notepad++ 等。集成开发环境（IDE）：如 Visual Studio、CLion、Eclipse 等，集成了编辑、编译、调试等功能。3、主要工作编写代码逻辑，添加注释以提高可读性，格式化代码（缩进、对齐等）。二、编译（Compiling）

/ 表达式结果为true/false。#define PI 3.14159 // 宏常量（预处理替换）数据类型：int, float, double, bool, char。// const常量。// 声明未初始化（值随机）逻辑表达式：(age >= 18) && (sex == male)定义：由操作数（变量、常量）和运算符组成的计算式，最终产生一个值。由字母（a-z, A-Z）、数字（0-9）和下划线（_）组成。字面常量：直接写出的值（如 42, 3.14, ‘A’）。

C++ 提供了丰富的基本数据类型，包括：整数型（int、long）、实数型（float、double）、字符型（char）和布尔型（bool）长整型 long：至少64位（8字节），范围约为 -9.2×10¹⁸ 到 9.2×10¹⁸。基本整型 int：通常为32位（4字节），范围约为 -2.1×10⁹ 到 2.1×10⁹。双精度浮点 double：通常64位（8字节），约15位有效数字。char：通常8位，存储ASCII字符（-128到127）2、实数类型：浮点类型，用于表示实数，精度和范围有所不同。

复合语句（也称为块语句）是 C++ 中由一对花括号 {} 包围的语句序列，它在语法上花括号 {} 包围的多条语句被当作一个整体，整体被视为一个语句。cin (C++使用) 和 scanf (C使用) 都是用于输入数据的函数，都可以在C++的代码中使用，下面详细进行说明，注意二者使用上的区别。功能说明：cout 是 C++ 标准输出流对象，定义在 头文件中，用于向标准输出设备（通常是控制台/终端）输出数据。功能说明：是 C++ 标准输入流对象，定义在 头文件中，用于从标准输入（通常是键盘）读取数据。

在 C++ 中，多层条件语句指的是在一个条件语句内部嵌套另一个（或多个）条件语句，用于处理更复杂的判断逻辑。常见的形式是在 if 语句内部再包含 if 或 else if 语句，或者是if 语句内部包含switch语句。一、if 语句： C++ 中最基础的条件控制语句，用于根据条件判断执行不同的代码块。// 条件1和2为假且条件3为真时执行的代码。// 条件1为真但条件2为假时执行的代码。// 条件1为假且条件2为真时执行的代码。// 条件1为真，条件2为假，条件3为真。// 所有条件都为假时执行的代码。

for 循环最适合计数场景，while 适合条件驱动，do-while 则适合必须执行至少一次的情况。C++ 提供了三种主要的循环语句：for、while 和 do-while，每种都有其特定的使用场景。执行顺序 先判断后执行 先判断后执行 先执行后判断。变量作用域 循环内 外部或循环内声明 外部或循环内声明。continue：跳过本次循环剩余部分，进入下一次循环。cout << "找到负数: " << num;return：退出整个函数（包括其中的循环）// 找到后立即退出循环。

多层循环的核心是外层循环控制 “轮次”，内层循环控制每轮的 “细节操作”，执行时先完整执行内层循环，再进入外层循环的下一次迭代。j++) { // 内层循环：j=0,1（每次i变化时，j从0重新开始）4）判断内层循环条件：若为true，执行内层循环体，然后执行内层迭代，重复步骤 4；i++) { // 外层循环：控制行（0~2）i++) { // 外层循环：i=0,1。j++) { // 内层循环：控制列（0~3）// 内层循环体（每次外层循环，内层会完整执行一遍）

位运算（Bitwise Operations）是指直接对整数的二进制位进行操作，常用于底层编程、性能优化和某些特定算法（如加密、压缩、位掩码等）。关系运算符用于比较两个值，比较结果返回 true（1）或 false（0）。取模（余数），仅适用于整数，结果符号与被除数相同，结果为2。// false（因为 b 为 false）整除 / int c = a / b;// true（因为 a 为 true）否则为 false。前缀形式（++x） 和 后缀形式（x++），两者的行为有重要区别（计算顺序不同）。

数学库常用函数介绍，包括：绝对值函数、四舍五入函数、下取整函数、上取整函数、平方根函数、常用三角函数、对数函数、指数函数等。

它通过清晰的逻辑关系展示 “做什么”“怎么做”“先做什么后做什么”，帮助人们理解复杂流程的结构、顺序和分支条件，是跨领域沟通、流程优化和问题分析的重要手段。逐步求精（Stepwise Refinement）：软件设计的每一层都进行更详细的定义，每次细化只关注当前层次的细节，通过多次迭代细化设计，逐步补充细节，达到可实现的代码级别。模块化（Modularity）：将功能拆分为独立模块（函数/类），每个模块有明确的功能和接口，模块间低耦合，模块内高内聚，提高复用性和可维护性。int a = 5;

/ 自动确定数组的大小，给数组赋了5个值，因此数组长度为5。不能越界访问：访问 arr[-1] 或 arr[size] 可能导致程序崩溃或不可预测的行为。// 声明包含5个整数的数组（未初始化）下标从0开始：第一个元素是 arr[0]，最后一个元素是 arr[size-1]数组名代表首地址：arr 等价于 &arr[0]，数组名是数组首地址的地址常量。// 输出带索引的数组。// 从文件读取数组。

/ 3行4列的未初始化数组。// 2个二维数组，每个有3行4列。j++) { // 行循环。1、三维数组初始化， 2个"层"，每个层是3行4列的二维数组。数据类型 数组名[维度1][维度2][维度3]…定义方式：数据类型 数组名[行数][列数];{1, 2, 3}, // 第一行。

/ 返回负数（s1 < s2）、0（相等）、正数（s1 > s2）char str3[6] = {‘H’, ‘e’, ‘l’, ‘l’, ‘o’, ‘\0’};// 逐个字符初始化。// 安全复制，最多复制 3 个字符（不会自动补 ‘\0’）char* p = strchr(str, ‘o’);// 安全连接，最多添加 2 个字符（自动补 ‘\0’）// 自动计算长度（包含 ‘\0’，实际长度为 6）// 等价于 char str2[6] = {‘H’,‘e’,‘l’,‘l’,‘o’,‘\0’};

// 形参 num 是实参的副本。void printSum(int a, int b) { // a 和 b 是形参。change(a);// 实参 a 的值（10）拷贝给形参 num。// 3 和 7 是实参（常量）// 输出 10（a 未被修改）// 输出 100（a 被修改）// 输出 100（a 被修改）