papership的博客

原创 【入门级-数学与其他：4、离散与组合数学：杨辉三角】

13世纪，我国古代数学家杨辉在其《详解九章算法》(1261) 中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。杨辉三角在我国古代大多用来作为开方的工具。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。杨辉三角（也称帕斯卡三角）是组合数学中一个非常优美且实用的工具，它清晰地展示了二项式系数和组合数的规律。行2的 2 = 行1的 1 + 1。行3的 3 = 行2的 1 + 2。行4的 6 = 行3的 3 + 3。

原创 【入门级-数学与其他：4、离散与组合数学：集合】

子集： 如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。对于三个集合：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|对称差： A ⊕ B = {x | (x ∈ A 或 x ∈ B) 且 x ∉ (A ∩ B)} = (A ∪ B) - (A ∩ B)集合相等： 如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则集合 A 和 B 相等，记作 A = B。空集是唯一的，也是任何集合的子集。

原创 【入门级-数学与其他：4、离散与组合数学：排列&组合】

列出所有可能：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB。公式： P(n, r) = n × (n-1) × (n-2) × …列出几种可能：(5苹果, 0香蕉, 0橙子), (4,1,0), (3,2,0), (3,1,1)…公式： C(n + r - 1, r) 或等价的 C(n + r - 1, n - 1)

原创 【入门级-算法-5、数值处理算法：高精度的乘法】

逐位计算乘积：用数组 A 的第 i 位（A [i]）乘以数组 B 的第 j 位（B [j]），结果存入结果数组 C 的第 i+j 位（C [i+j] += A [i] * B [j]）。统一处理进位：遍历结果数组 C，对每一位执行 “C [k] = C [k] % 10”，进位 “C [k+1] += C [k] / 10”，确保每一位都是 0-9 的数字。数组长度估算：若乘数 A 有 n 位、乘数 B 有 m 位，结果最多有 n+m 位，因此结果数组 C 的初始长度可设为 n+m，避免空间不足。

原创 【入门级-数学与其他：4、离散与组合数学：乘法原理】

乘法原理是组合数学的基石，它的核心思想是 “分步相乘”，掌握好乘法原理，是学习后续更复杂的排列（Permutation）、组合（Combination）等概念的关键。说"加法原理"也好，"乘法原理"也好，其实大家都会算数，这个没什么难的，关键这里是让大家了解在计算机的世界，如何将这2个原理与计算机结合，才能方便我们以后设计程序。就是做一件事，需要分几步完成，每一步都有若干种选择，那么完成这件事的总方法数就是把每一步的选择数乘起来。这时，乘法原理依然适用，但第二步的选择数依赖于第一步的结果。

原创 【入门级-数学与其他：4、离散与组合数学：加法原理】

设完成一个任务有 k 类不同的方案。在第一类方案中有 n1 种方法，在第二类方案中有 n2种方法，……，在第 k 类方案中有nk种方法。"加法原理"是离散与组合数学中的基本原来。是组合计数中最简单、最直观，也是最重要的原理之一。意味着这些方案类别之间没有重叠，完成任务的任何一种方法都属于且仅属于其中一个类别。如果完成一项任务有互斥的若干类方案，那么完成该任务的总方法数，等于各类方案方法数之和。掌握加法原理，是步入组合数学世界的第一步，也是解决更复杂计数问题的基础。加法原理的核心思想可以概括为一句话：。

原创 【入门级-算法-5、数值处理算法：高精度的减法】

高精度减法通过将大数字拆分为单个数字的数组，从最低位（右）向最高位（左）依次计算，同时处理 “借位” 问题，最终得到结果。请参考如下文章：https://blog.youkuaiyun.com/papership/article/details/153468146。2、高精度减法用于处理大整数（超过标准数据类型范围）的减法运算。// 比较两个大数的大小，用于确定结果符号。借位减法：从低位到高位逐位相减，处理借位。// 高精度减法：计算 a - b。// 比较两个数字字符串的大小。

原创 【入门级-算法-5、数值处理算法：高精度的加法】

当我们需要使用一个比这个范围更大的整数（例如，1000位的整数）进行运算时，标准的数据类型就无法满足我们的要求了。4.结果整理：将结果数组逆序，转换为字符串或数字形式，得到最终结果，由于结果是逆序存储的，输出时需要从后往前（即从最高位到最低位）输出。2.逐位相加：从数组的起始位置（即数字的个位）开始，对应位数字相加，再加上上一位的进位（也可能没有进位产生，即进位值为零）。= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (最终结果)1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (处理进位)

原创 【入门级-算法-4、算法策略：前缀和】

前缀和是一种预处理技术，是预先计算并存储数组从起始位置到每个位置的元素累加和，从而将区间求和的复杂度从 O(n) 降为 O(1)。它的本质是用 “空间换时间”，通过一次预处理存储中间结果，避免后续重复计算，特别适合需要频繁查询数组区间和的场景。n-1]，我们定义它的前缀和数组 为： prefix[0…prefix[0] = 0 （或者 prefix[0] = nums[0]，根据约定不同）n]来保存数组 nums[0…假设有一个数组，我们需要频繁地查询某个区间 [L, R] 内元素的和。

原创 【入门级-算法-3、基础算法：倍增法】

2、核心思想是：将过程分成多个2的幂次阶段，通过预处理（或逐步计算）每个幂次步长的结果，从而将线性复杂度的时间代价优化为对数复杂度。这个过程从最大的步长开始尝试，如果不行就缩小步长，直到步长为0。将一个步骤分解，不是一步一步地走，而是每次将步长翻倍，以极高的效率逼近目标。如果成功了，说明目标在 16 米之外，我们下次从 16 米处开始，再尝试跳 8 米（16+8=24 > 20，跳过头了）。那么我们就放弃跳 8 米，尝试跳 4 米（16+4=20，正好到达目标）。先尝试跳一个很大的步长，比如 16 米。

原创 【入门级-算法-3、基础算法：二分法】

调整右边界：right = mid - 1。循环结束：如果循环结束（即 left > right）仍未找到，说明目标值不存在于数组中，返回 -1。计算中间：计算中间索引 mid = left + (right - left) // 2。初始化：设置 left = 0（数组起始索引），right = n-1（数组末尾索引）。假设你要猜的数据是18，需要的中间数字分别是：50，25，13，18，四次就可以完成。问题描述：在有序数组 nums 中查找指定目标数据，若存在返回其索引，否则返回 -1。

原创 【入门级-算法-1、算法概念与描述】

现在我们要做一个菜，由于每个厨师的操作步骤和做菜的方法都是不同的，因此做出来的菜的口味也不同，那么这个厨师的菜谱其实就是厨师做菜的“算法”。算法是解决特定问题的有限、明确、可执行的步骤集合，用于解决一个特定问题或完成一项特定任务，本质是把输入数据转化为期望输出的“解题流程”。可行性： 算法的每一步都必须是可行的，也就是说，能够通过已经实现的基本操作在有限时间内完成。可执行的： 步骤必须是你能做到的，比如“搅拌”，而不是“用意念混合”。2.“加入3克盐”，而不是“加少许盐”，盐的数量不同，口味自然不同。

原创 “AI”与“AI智能体”的区别

它不仅能使用工具，还能理解任务（比如“组装一个书架”），自己规划步骤（先做什么，后做什么），执行操作，并在遇到问题时进行调整。例如：你给一个AI智能体下达指令：“帮我分析一下公司上个季度的销售数据，并写一份总结报告，用邮件发给我的团队。“AI”是一个广义的总称，而“AI智能体”是AI的一种更高级、更复杂、更具自主性的表现形式。AI（人工智能） 就像是一个工具库，里面有锤子、螺丝刀、尺子等各种工具。AI的核心是“能力”，但它本身没有“意图”或“目标”。感知：它会识别你的目标（分析数据、写报告、发邮件）。

原创 【入门级-算法-6、排序算法： 计数排序】

计数排序核心思想：通过 “统计待排序元素的出现次数”然后根据这些计数信息将元素放置到正确的位置，来确定每个元素的最终位置，而非通过元素间的比较完成排序。它仅适用于元素值范围已知且较为集中的场景（例如年龄、考试分数、商品 ID 等），时间复杂度可达到线性级别，效率远高于冒泡、归并等比较型排序，时间复杂度可以达到 O (n + k)（其中 n 是元素个数，k 是元素值的范围）。计算前缀和：将计数数组转换为前缀和数组，以确定每个元素在结果数组中的位置。// 步骤6：反向遍历原数组，构建有序数组（保证稳定性）

原创 ONNX（开放神经网络交换）格式标准简介

问题：AI研究员喜欢用PyTorch（因其灵活、调试方便），而嵌入式部署环境可能更偏好TensorFlow Lite（对移动/嵌入式设备友好）或需要供应商特定的引擎（如NVIDIA的TensorRT、Intel的OpenVINO）。掌握它，意味着您能将来自不同训练环境的模型，高效、可靠地部署到各种各样的硬件目标上，极大地提升了工作的灵活性和效率。ONNX解决方案：ONNX充当了通用桥梁。它定义了一种通用的、与框架和硬件无关的文件格式，使得在不同框架中训练的模型能够在一个统一的中间表示上交换和使用。

原创 【入门级-算法-3、基础算法：贪心法】

贪心法是一种 “高效但谨慎” 的算法：它在合适的问题上能以极低的成本得到全局最优解，但在不满足条件的问题上会失效。使用贪心法的关键是先验证问题的两个核心条件（贪心选择性质、最优子结构），再设计明确的贪心策略，最后通过案例验证结果是否正确。贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。它不追求回溯或全局规划，而是以 “短视” 的局部最优策略推进，因此效率通常较高，但并非适用于所有问题。对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解。

原创 【入门级-算法-6、排序算法： 插入排序】

2、将 key 与它前面的元素（已排序部分）从后向前依次比较。虽然时间复杂度为O(n²)，但由于其实现简单、稳定、空间效率高等特点，在实际编程中仍有其用武之地，特别是在作为其他高级算法的组成部分时。从 arr[1]（第二个元素）开始，作为当前需要插入的元素（key）。3、每插入一个元素，已排序部分就增加一个元素，未排序部分就减少一个元素。j = i - 1;2、依次将未排序部分的元素插入到已排序部分的正确位置。// 从第二个元素开始（下标1），作为要插入的元素。// 将比 key 大的元素都向后移动一位。

原创 【入门级-算法-6、排序算法：选择排序】

第二轮：从 arr[1] 到 arr[n-1] 中找到最小的元素，将其与 arr[1] 交换。第一轮：从 arr[0] 到 arr[n-1] 中找到最小的元素，将其与 arr[0] 交换。第 i 轮：从 arr[i] 到 arr[n-1] 中找到最小的元素，将其与 arr[i] 交换。// 如果 minIndex == i，说明 arr[i] 已经是未排序部分的最小值，无需交换。// 2. 内层循环，在未排序部分 (i+1 到 n-1) 中寻找真正的最小值的位置。// 更新最小元素的索引。

原创 进制转换练习题

原创 【入门级-算法-3、基础算法：递归法】

思路：比如我们想求5的阶乘，我们是不知道的，但是如果我能求出4的阶乘，乘以5就可以得到5的阶乘，按照递归的思想，我们就转移到递归条件中，去函数调用自己，将问题转换为去求4的阶乘，一次类推，去求3的阶乘，求2的阶乘，最终求出1的阶乘，而1的阶乘是已知的，程序进入基线条件部分，然后函数层层调用返回，最终实现求出5的阶乘。使用递归时，一定要确保有明确的基线条件，否则会导致无限递归，最终引发栈溢出错误。对于一些复杂问题，递归可以提供直观的解决方案，但在性能要求较高的场景下，可能需要考虑用迭代替代递归。

原创 【入门级-算法-3、基础算法：递推法】

递推法是指在求解问题时，通过建立相邻项之间的关系（递推公式），从初始条件出发，逐步计算出问题的解的过程。递推公式：描述第 n 项与前面若干项之间关系的数学表达式（如斐波那契数列的递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)）。斐波那契数列特点：从第3个数开始，数字是前2个数字之和，例如，第3个数是1（0+1等于1），第4个数是2（1+1等于2）。初始条件：问题的最小规模解，是递推的起点（如斐波那契数列中的第 1 项和第 2 项）。// 更新F(n-2)为原来的F(n-1)有明显的递推关系的问题。

原创 【入门级-算法-6、排序算法：排序的基本概念&冒泡排序】

设计算法时，时间复杂度和空间复杂度往往存在权衡关系，优秀的算法设计需要在两者之间找到平衡点，有两种常用解决方法：一个是空间换时间，就是说使用额外存储空间来减少计算时间；一个是时间换空间，就是说减少存储空间但增加计算时间，在实际的开发过程中，要根据实际资源的情况进行调整。时间复杂度：在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。8 23 4 11 25 第四次，即比较结果（每一趟最后一次排序结束后，最大的数据“浮出水面”，即找到最大的数）

原创 【入门级-算法-2、入门算法：模拟法】

模拟法（Simulation）：是一种按照问题描述直接模拟过程的算法思想，适合解决流程明确、步骤固定的问题。它的核心是用代码还原实际问题的发展过程。不需要复杂的算法设计，用程序按照问题描述的规则、流程或场景，逐步骤地还原操作过程，最终得到结果。理解问题流程，明确每一步的操作规则，按照问题描述逐步执行。cout << “错误！流程清晰的问题（如游戏规则、物理过程）。需要逐步执行的操作（如自动化操作模拟）。cout << "输入两个数字: ";状态转换明确的问题（如状态机）。适合流程明确、步骤固定的问题。

原创 【入门级-算法-2、入门算法：枚举法】

枚举法的基本思想：计算机主要功能，或者说它的优势就是算力强大，穷举所有可能看着有些笨拙，但是对于计算机来说不是什么问题，因此我们要善于利用这种思想进行程序设计。枚举法（Brute Force）：是一种直接遍历所有可能情况的算法思想，适合解决数据范围较小的问题。它的核心是穷举所有可能性，并检查哪些情况符合要求。cout << “a + b = 100 的所有正整数解：” << endl;问题没有明显的数学规律，只能暴力尝试。需要找到所有可能的解（如排列组合）。逐个检查 每个可能的解。能够找到所有可能的解。

原创 【入门级-数学与其他：5、其他：ASCII 码】

ASCII 码表。

原创 【入门级-C++程序设计：13、STL 模板：栈(stack)、队 列(queue)、 链 表(list)、 向 量(vector) 等容器】

std::cout << "栈顶元素: " << myStack.top() << std::endl;std::cout << "栈的大小: " << myStack.size() << std::endl;std::cout << "队头元素: " << myQueue.front() << std::endl;std::cout << "队尾元素: " << myQueue.back() << std::endl;是一种先进先出 (FIFO) 的容器适配器，只能从队尾插入元素，从队头删除元素。

原创 【入门级-C++程序设计：13、STL模板：常用函数与算法模板(min、max、swap、sort)】

函数 comp用户可以根据情况自行进行定义，这里举例定义的是绝对值比较，你也可以定义大小比较，字符长度比较等等，都可以的，不要拘泥于此。

原创 【入门级-C++程序设计：11、指针与引用-引 用】

/ ref是num的引用（别名），初始化，声明时绑定到有效变量num。// 输出相同的地址。cout << "修改后 num: " << num << endl;

原创 【入门级-C++程序设计：11、指针与引用-基于指针的数组访问】

在 C++ 中，数组名是表示数组首地址的地址常量，也可以说数组名本质上是指向数组第一个元素的指针，这样我们就可以通过指针来访问数组元素。// 也可以用指针方式：cout << *(arr + i) << " ";// 通过指针访问数组元素。

原创 【入门级-C++程序设计：11、指针与引用-字符指针】

在C++中，字符指针（char*）是指向字符（char）类型数据的指针，常用于处理C风格的字符串（以 \0 结尾的字符数组）。// 推荐加 const，避免修改只读数据。// 返回 5（不包括 ‘\0’）// 合法，修改数组内容。将“H”修改为“h”C风格字符串：以 ‘\0’（空字符）结尾的字符数组，字符指针通常指向其首地址。// 指向字符串常量（只读）// 指向数组首元素。// 字符数组（可修改）char* str = new char[10];// 指向数组首元素。

原创 【入门级-C++程序设计：11、指针与引用-指向结构体的指针】

在C/C++中的任何“东四”（变量、函数名、数组名等等）都有地址，定义一个指针，将指针指向这些地址，就可以对指向的地址中的内容进行操作。// 定义结构体指针ptr，结构体指针ptr 指向 s1 的地址（可理解为将变量s1的地址赋值给指针ptr）在C++中，指向结构体的指针是一种常用的数据操作方式，指针和结构体建立联系后，就可以通过指针间接访问和修改结构体的成员。

原创 【入门级-C++程序设计：7、数组-数组与数组下标&数组的读入与输出】

/ 自动确定数组的大小，给数组赋了5个值，因此数组长度为5。不能越界访问：访问 arr[-1] 或 arr[size] 可能导致程序崩溃或不可预测的行为。// 声明包含5个整数的数组（未初始化）下标从0开始：第一个元素是 arr[0]，最后一个元素是 arr[size-1]数组名代表首地址：arr 等价于 &arr[0]，数组名是数组首地址的地址常量。// 输出带索引的数组。// 从文件读取数组。

原创 【入门级-C++程序设计：10、结构体与联合体--结构体】

cout << “成绩：” << s.score << endl;cout << “姓名：” << s.name << endl;cout << “年龄：” << s.age << endl;{2000, 5, 15} // 初始化嵌套的Date成员。// 方式1：按顺序初始化（需与结构体成员顺序一致）// 声明结构体变量。

原创 【入门级-C++程序设计：9、函数与递归-传值参数与传引用参数】

main函数中a为10，进行函数调用的时候，只是将实参a的值传递给形参num，此时num的值也为10，在子函数increment中，输出num为11。cout << “函数外：” << a << endl;// 输出 11（被修改）cout << “函数外：” << a << endl;cout << “函数内：” << num << endl;若只需使用参数的值，无需修改原始数据：优先用传值（简单类型）或常量引用（大型数据）。cout << “函数内：” << num << endl;

原创 【入门级-C++程序设计：12、文件及基本读写-文件重定向、文件读写等操作】

下面我将详细介绍这些内容。std::cout << “文件大小: " << size << " 字节\n”;std::cout << "从文件读取: " << line << “\n”;std::ios::in 打开用于读取。std::ios::app 追加模式，所有写入都在末尾。std::ios::trunc 如果文件存在，先截断。std::ios::ate 打开时定位到文件末尾。std::ios::binary 二进制模式。std::ios::out 打开用于写入。

原创 【入门级-C++程序设计：9、函数与递归-函数定义与调用、形参与实参】

// 形参 num 是实参的副本。void printSum(int a, int b) { // a 和 b 是形参。change(a);// 实参 a 的值（10）拷贝给形参 num。// 3 和 7 是实参（常量）// 输出 10（a 未被修改）// 输出 100（a 被修改）// 输出 100（a 被修改）

原创 【入门级-C++程序设计：11、指针与引用-指针】

接下来我们做一个比喻来进行说明：内存的地址在计算机中是连续存储的，目前我们有一个1M的内存，内存的地址范围是：0x00000~0xFFFFF，每一个内存地址可以存放一个数据，我们可以把每一个地址（指针）看作是每一个房间号，每个房间住着的人就相当于内存中存储的数据，也就是说每个房间号就是这个房间的“指针”，每个房间住的不同的人就是内存中存储的不同的数据，我们要想找到不同的人（内存中的数据），只要找到这个人的房间号（指针）就可以找到这个人。// 将a的地址赋值给p，p现在指向a。

原创 【入门级-C++程序设计：10、结构体与联合体-联合体】

联合体(union)是C++中的一种特殊数据类型，它允许在相同的内存位置存储不同的数据类型。联合体与结构体(struct)类似，但关键区别在于联合体的所有成员共享同一块内存空间。共享内存：联合体的大小等于其最大成员的大小，所有成员共享同一内存空间，同一时间只能存储一个成员的值：给一个成员赋值会影响其他成员的值。C++允许定义匿名联合体(没有名称的联合体)，其成员可以直接在定义联合体的作用域中访问。C++11开始，联合体可以包含带有构造函数的类成员，但需要手动管理这些成员的生命周期。联合体不能包含引用成员。

原创 【入门级-C++程序设计：8、字符串的处理-字符数组与相关函数&string类与相关函数】

/ 返回负数（s1 < s2）、0（相等）、正数（s1 > s2）char str3[6] = {‘H’, ‘e’, ‘l’, ‘l’, ‘o’, ‘\0’};// 逐个字符初始化。// 安全复制，最多复制 3 个字符（不会自动补 ‘\0’）char* p = strchr(str, ‘o’);// 安全连接，最多添加 2 个字符（自动补 ‘\0’）// 自动计算长度（包含 ‘\0’，实际长度为 6）// 等价于 char str2[6] = {‘H’,‘e’,‘l’,‘l’,‘o’,‘\0’};

原创 【入门级-C++程序设计：9、函数与递归-常量与变量的作用范围】

/ 成员变量（对象作用域）常量和变量的作用范围（作用域）决定了它们在程序中的可见性和生命周期。// 静态常量（类作用域）在一个函数内部定义的变量只能在本函数范围内有效,在该函数外不能使用的变量。// 直接通过类名访问。// x 和 y有效结束位置。// 通过命名空间访问。定义：用 static 修饰的全局变量/常量，仅在当前文件可见。// 可访问全局常量/变量。