【入门级-算法-9、动态规划：动态规划的基本思路】

动态规划是算法中非常重要且实用的思想，需要我们掌握其核心思路。

一、概念
动态规划的核心思想是通过巧妙地利用已经计算过的结果，来避免重复计算，从而高效地解决复杂问题。其本质是通过拆分问题、缓存中间结果，避免重复计算，最终高效求解全局最优解。核心思路可概括为“化整为零、逐个击破、缓存复用”。

重叠子问题：在求解过程中，同一个子问题会被多次计算。动态规划通过“记忆化”来存储这些子问题的解。
最优子结构：一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。我们可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。

二、动态规划的基本思路
我们以经典的 “爬楼梯” 问题为例来说明：
问题：假设你正在爬楼梯，需要走n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶？
解决一个动态规划问题，通常需要五个步骤。
第1步：定义 dp 数组的含义
我们定义一个数组（变量）来记录状态，这个数组就叫 dp (Dynamic Programming)。首先明确 dp[i] 代表什么是至关重要的一步。
对于爬楼梯问题：我们定义 dp[i] 为 “爬到第 i 阶楼梯有多少种方法”。
那么我们的目标就转化为：求 dp[n]。

第2步：将问题抽象为数学公式，确定状态转移方程（递推公式）
这是动态规划需要重点解决的问题，也是最难的一步。
我们需要找出问题各个状态之间的关系，抽象出数学表达式。简单来说，就是思考 dp[i] 如何由前面的状态（如 dp[i-1], dp[i-2] 等）推导出来，即如何利用已经计算过的结果。
对于爬楼梯问题：思考如何爬到第 i 阶？（有如下2中情况）
从第 i-1 阶爬 1 个台阶上来。
从第 i-2 阶爬 2 个台阶上来。
由于这两种方式是互斥的，并且覆盖了所有可能性，所以到达第 i 阶的方法数就是这两种方式的方法数之和。
到达第 i-1 阶有 dp[i-1] 种方法，从这里爬1步就到 i。
到达第 i-2 阶有 dp[i-2] 种方法，从这里爬2步就到 i。
因此，状态转移方程为：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

第3步：初始化 dp 数组
递推公式需要基础值才能启动。我们需要给 dp 数组一些初始值，即“底座”。
对于爬楼梯问题：
dp[0]：爬到第0阶（也就是起点）有几种方法？只有1种，就是不爬。所以 dp[0] = 1。（这个定义有时为了逻辑清晰可以调整）
dp[1]：爬到第1阶，只有一种方法（爬1个台阶），所以 dp[1] = 1。

有了 dp[0] 和 dp[1]之后，我们就可以根据 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 计算出 dp[2], dp[3] … 直到 dp[n]。
（PS：另一种常见的初始化是 dp[1] = 1, dp[2] = 2，逻辑上是等价的）

第4步：确定遍历顺序
我们需要确定如何遍历整个状态空间，以保证在计算 dp[i] 时，它所依赖的 dp[i-1] 和 dp[i-2] 都已经被计算出来了。
对于爬楼梯问题：我们的状态转移方程依赖于 i-1 和 i-2，所以我们需要从前往后遍历。
即 i 从 2 开始，一直循环到 n。

第5步：举例推导 dp 数组
这一步是为了验证我们的思路和代码是否正确。我们可以手动计算 dp 数组的前几项。
对于爬楼梯问题 (假设 n=5)：
dp[0] = 1 (起点)
dp[1] = 1 (1)
dp[2] = dp[1] + dp[0] = 1 + 1 = 2 (1+1, 2)
dp[3] = dp[2] + dp[1] = 2 + 1 = 3 (1+1+1, 1+2, 2+1)
dp[4] = dp[3] + dp[2] = 3 + 2 = 5 (1+1+1+1, 1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2)
dp[5] = dp[4] + dp[3] = 5 + 3 = 8 (1+1+1+1+1, 1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，2+1+2，1+2+2，2+2+1)
所以，爬到5阶楼梯有8种方法。这个序列（1, 1, 2, 3, 5, 8…）其实就是斐波那契数列。

三、代码实现（爬楼梯）
int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) return n;
int dp[n + 1];
dp[1] = 1; // 到第1阶：1种方法
dp[2] = 2; // 到第2阶：2种方法（1+1 或 2）
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}

// 空间优化版
int climbStairs_opt(int n) {
if (n <= 2) return n;
int prev2 = 1; // dp[i-2]
int prev1 = 2; // dp[i-1]
int curr;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
curr = prev1 + prev2;
prev2 = prev1;
prev1 = curr;
}
return curr;
}

四、总结与要点
核心思想：空间换时间，记录子问题的解，避免重复计算。
关键两步：
定义状态 (dp[i] 是什么)：这是解决问题的基石。
状态转移方程 (dp[i] 怎么来)：这是思考的难点和核心。
练习建议：从简单题开始（如斐波那契数列、爬楼梯），逐步过渡到经典问题（如背包问题、最长公共子序列、编辑距离等），严格按照五步法思考，并养成手动推导 dp 数组的习惯。
把这个“五步法”作为你的思维框架，再通过练习去填充各种具体问题的状态定义和转移方程，你就能逐渐掌握动态规划的精髓。