【入门级-算法-3、基础算法：递推法】

一、递推法的概念
递推法是指在求解问题时，通过建立相邻项之间的关系（递推公式），从初始条件出发，逐步计算出问题的解的过程。它是一种自底向上的求解策略，即从最基础的小规模问题开始，逐步扩展到更大规模的问题。

递推法是计算机科学和数学中一种重要的基础算法思想，它通过利用已知条件推导出后续结果，从而解决问题。其核心逻辑是：每个问题的解都可以由前面已知的若干个解推导而来，无需重复计算相同的子问题。

二、递推法的基本特征
初始条件：必须有明确的初始值
递推关系：能够用公式表示当前项与前几项的关系
顺序计算：从已知条件出发，逐步计算出后续结果

三、举例说明：
实现斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
斐波那契数列特点：从第3个数开始，数字是前2个数字之和，例如，第3个数是1（0+1等于1），第4个数是2（1+1等于2）。
程序代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 函数声明
long long fibonacci(int n);
int main() {
int n;
long long result;
printf(“请输入要求解的斐波那契数列项数: “);
scanf(”%d”, &n);
// 检查输入是否合法
if (n <= 0) {
printf(“请输入正整数!\n”);
return 1;
}
result = fibonacci(n);
printf(“斐波那契数列第 %d 项是: %lld\n”, n, result);
return 0;
}
long long fibonacci(int n) {
// 处理前两项的情况
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
// 初始化前两项
long long a = 1; // F(n-2)
long long b = 1; // F(n-1)
long long c; // F(n)
// 从第3项开始计算到第n项
for (int i = 3; i <= n; i++) {
c = a + b; // 递推公式
a = b; // 更新F(n-2)为原来的F(n-1)
b = c; // 更新F(n-1)为新计算的F(n)
}
return b;
}

核心要素
初始条件：问题的最小规模解，是递推的起点（如斐波那契数列中的第 1 项和第 2 项）。
递推公式：描述第 n 项与前面若干项之间关系的数学表达式（如斐波那契数列的递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)）。

递推法的适用场景：
有明显的递推关系的问题
需要顺序计算的问题
数学公式明确的问题