【入门级-数学与其他：4、离散与组合数学：排列&组合】

1、基本概念
排列和组合理解关键就是判断顺序，在于判断顺序是否重要。
排列：顺序重要。 就像赛跑的排名，冠军和亚军是不同的。
组合：顺序不重要。 就像从一堆水果里选2个，先选苹果后选梨，与先选梨和后选苹果结果是一样的。

2、排列
排列关注从一组元素中选取一部分（或全部）进行有序排列。
2.1 无重复排列
从 n 个不同的元素中，取出 r 个元素进行排列。
情景：你有n本不同的书，要选r本放到书架上（书架有顺序）。
公式： P(n, r) = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1) = n! / (n-r)!
解释：选第一本书有n种选择，第二本有(n-1)种，…，直到第r本有(n-r+1)种选择。
特例：当 r = n 时，即全排列，P(n, n) = n!

例题：从A, B, C, D 4个字母中选3个排列，有多少种排法？
解： P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 24 / 1 = 24
列出所有可能：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB。
确实是24种。

2.2 有重复排列
如果n个元素中有重复（例如，有相同的书），那么全排列数会减少。
情景：单词 “MISSISSIPPI” 中的字母可以排列成多少个不同的字符串？
公式：如果有n个元素，其中第一类元素有 n1​ 个相同，第二类有n2​ 个相同，…，第k类有nk​ 个相同 (n1+n2+…+nk=n1​+n2​+…+nk​=n)，则不同的排列数为：
n! / (n_1! × n_2! × … × n_k!)
解释：因为相同的元素互相交换位置不会产生新的排列，所以要用全排列数除以各组相同元素内部排列的数目。
例题： “MISSISSIPPI” 中有多少个字母？
M: 1个， I: 4个， S: 4个， P: 2个。总共11个字母。
解：排列数 = 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 39916800 / (1 × 24 × 24 × 2) = 34650

2.3 圆排列
n个不同的元素围成一个圆圈，旋转后相同的排列视为同一种。
情景：5个人围着一张圆桌吃饭，有多少种坐法？
公式： (n-1)!
解释：由于圆可以旋转，固定一个人的位置作为参考点，剩下的(n-1)个人进行全排列。
例题：5个人圆桌吃饭的坐法。
解： (5-1)! = 4! = 24 种。

3、组合
组合关注从一组元素中选取一个子集，不考虑顺序。
3.1 无重复组合
从 n 个不同的元素中，取出 r 个元素，不考虑顺序。
情景：从10个人中选3人组成一个委员会。谁被选中重要，但他们在委员会内的顺序不重要。
公式： C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / (r! × (n-r)!)
解释：先从n个中取r个进行排列，有P(n, r)种。但因为这r个元素本身有r!种排列方式，而这些排列在组合中被视为同一种，所以要除以r!。
例题：从A, B, C, D 4个字母中选3个，有多少种选法？
解： C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 24 / (6 × 1) = 4
列出所有可能：{A, B, C}, {A, B, D}, {A, C, D}, {B, C, D}。确实是4种。

3.2 有重复组合
从n种不同类型的元素中（每种类型数量无限），可重复地选取r个元素，不考虑顺序。
情景：你去买甜甜圈，有5种口味（n=5），你要买12个（r=12）。允许你买多个相同口味的。问有多少种购买组合？
公式： C(n + r - 1, r) 或等价的 C(n + r - 1, n - 1)

解释：这是一个“星与棒”模型的经典问题。想象我们有r个星星（代表要选的12个甜甜圈），用(n-1)根棒子来把它们分成n组（代表5种口味）。这等价于从(r + n - 1)个位置中，选出(n-1)个位置放棒子（或者选出r个位置放星星）。

例题：有3种水果：苹果、香蕉、橙子。你要买5个水果，有多少种购买组合？
解： n=3, r=5。 C(3+5-1, 5) = C(7, 5) = C(7, 2) = 21
列出几种可能：(5苹果, 0香蕉, 0橙子), (4,1,0), (3,2,0), (3,1,1)… 总共21种。

4、解题技巧
先判断是排列还是组合：问自己“改变顺序后，算一种新的情况吗？”
考虑是否有特殊限制：比如“某人必须在内”、“某两人不能相邻”等。
数字很大时，直接用公式，不要尝试列出所有可能。