【斜率优化DP】BZOJ1597 [Usaco2008 Mar]土地购买

题面在这里

一看就是斜率优化DP……

首先如果存在$a_i\le a_j且b_i\le b_j$则可以不处理i

去掉这些没用的土地，那么$a_i$一定递增，$b_i$一定递减

设$f_i$表示前$i$块土地全部买了的最小代价

很容易得到转移方程：

$$f_i=Min\{ f_j+a_i\times b_{j+1} \}\space\space\space\space(0\le j\lt i)$$

然后$k=a_i,x=-b_{j+1},y=f_j$

就好了

示例程序：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int red(){
    int res=0,f=1;char ch=nc();
    while (ch<'0'||'9'<ch) {if (ch=='-') f=-f;ch=nc();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9') res=res*10+ch-48,ch=nc();
    return res*f;
}

const int maxn=50005;
int n,N,m[maxn],now,len;
LL f[maxn];
struct data{
    int x,y;
    bool operator<(const data&b)const{
        return x<b.x||x==b.x&&y<b.y;
    }
}a[maxn];
struct point{
    LL x,y;
    point() {}
    point (LL _x,LL _y):x(_x),y(_y) {}
    point operator-(const point&b){
        return point(x-b.x,y-b.y);
    }
}stk[maxn];
typedef point vec;
LL det(vec a,vec b){
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
LL getb(point p,LL k){
    return p.y-p.x*k;
}
void add(point x){
    while (len>1&&det(stk[len]-stk[len-1],x-stk[len-1])<=0) len--;
    now=min(now,len);stk[++len]=x;
}
point get(LL k){
    while (now<len&&getb(stk[now+1],k)<getb(stk[now],k)) now++;
    return stk[now];
}
int main(){
    n=red();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i].x=red(),a[i].y=red();
    sort(a+1,a+1+n);
    for (int i=n;i>=1;i--) m[i]=max(m[i+1],a[i].y);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     if (a[i].y>m[i+1]) a[++N]=a[i];
    f[0]=0;
    now=len=1;stk[1]=point(-a[1].y,0);
    for (int i=1;i<=N;i++){
        LL k=a[i].x;
        point p=get(k);
        f[i]=getb(p,k);
        add(point(-a[i+1].y,f[i]));
     }
    printf("%lld",f[N]);
    return 0;
}