A*-总结

【前言】

A*是被广泛运用于实际生活的一种搜索算法，在OI中也非常实用。

【A*的原理】

我们来回想一下BFS的原理：
每次从队首取一个状态，用其扩展出新的状态并放入队尾。
那么这个队列是没有优先级的

A*其实与BFS类似，只是给每个状态定义了估价函数f(x)
用于估计此状态最终到达目标状态的总代价。
只需要让代价小的先扩展，就能尽可能地将复杂度降到最低。

此时估价函数f(x)的选取就很重要了
因为估价越准确，就越容易使代价最小的先到达目标状态。
f(x)包括两个方面，即f(x)=h(x)+g(x)
其中h(x)是起始状态到当前状态的代价，g(x)是当前状态到目标状态的估计代价。
g(x)根据题目需要选取。

【A*的应用】

A*最常见的应用就是求第K短路。
直接把每个点x到终点T的最短路作为g(x)
此时的估价函数称为“完美估价函数”，因为它的估计值完全准确。
这样，第K短路一定是第K个到达终点的。
g(x)可以先用单源最短路算法预处理出来。

例题：POJ 2449
附上代码：

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005,maxe=100005;
int n,e,S,T,K,ans=-1;
struct edge{
    int son[maxe],nxt[maxe],lnk[maxn],w[maxe],tot;
    void add(int x,int y,int z){
        son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;w[tot]=z;
    }
}a,b;
inline int red(){
    int tot=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||'9'<ch) {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+ch-48,ch=getchar();
    return tot*f;
}
int que[maxn],dst[maxn];
bool vis[maxn];
void spfa(){
    memset(dst,63,sizeof(dst));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int hed=0,til=1;
    que[1]=T;dst[T]=0;
    while (hed!=til){
        int x=que[hed=(hed+1)%maxn];
        vis[x]=0;
        for (int j=b.lnk[x];j;j=b.nxt[j])
         if (dst[b.son[j]]>dst[x]+b.w[j]){
            dst[b.son[j]]=dst[x]+b.w[j];
            if (!vis[b.son[j]])
             que[til=(til+1)%maxn]=b.son[j],
             vis[b.son[j]]=1;
         }
    }
}
struct data{
    int id,w;
    data(int x,int y):id(x),w(y) {}
    bool operator<(const data&b)const{
        return w+dst[id]>b.w+dst[b.id];
    }
};
priority_queue<data> Q;
void astar(){
    Q.push(data(S,0));
    while (!Q.empty()){
        data k=Q.top();Q.pop();
        if (k.id==T&&!(--K)) {ans=k.w;return;}
        for (int j=a.lnk[k.id];j;j=a.nxt[j])
         Q.push(data(a.son[j],k.w+a.w[j]));
    }
}
int main(){
    n=red(),e=red();
    for (int i=1,x,y,z;i<=e;i++) x=red(),y=red(),z=red(),a.add(x,y,z),b.add(y,x,z);
    S=red(),T=red(),K=red();if (S==T) K++;
    spfa();
    astar();
    printf("%d",ans);
    return 0;
}