浅谈逆元

【逆元的定义】

对于任意正整数a,m，若ax≡1 (mod m)，则这个关于x的同余方程的最小正整数解x为“a模m的逆元”。

【逆元的应用】

常常会遇到这种题目：题目中运算的数据比较大，为了避免使用高精度，会要求选手输出答案mod p的结果，一般p是大小合适的质数。这样就可以利用同余的原理，使得每次运算结果都小于p，避免了高精度的使用。
显然，上述方法对于+、-、*运算还是比较方便的，但是如果需要用到除法，就会带来不便（假设b|a）：

那么，怎么避免除法呢？可以用逆元。设bx≡1 (mod p)，则a/b≡ax (mod p)。这个原理有点像倒数。

【逆元的求解】

求a模m的逆元就是解方程ax≡1 (mod m)，下面来考虑如何求解：
方法一：若m是质数，a与m互质。根据费马小定理可以得到：

方法二：若a与m互质，根据欧拉定理可以得到：

发现上述方法都有一个共性：要求a,m互质。虽然m一般都是质数，而a是mod m过的，即a,m互质，但我们还是要寻找一个通解：
方法三：对于任意正整数a,m，要解方程ax≡1 (mod m)其实就是扩展欧几里得算法，具体详见【欧几里得算法及其扩展形式】。

方法四：本方法有些特别，它避开了ax≡1 (mod m)的求解，而是转向逆元的应用：求
对于任意正整数a,b,m有
下面证明这个结论：

至此，逆元问题就得到了解决。